Cubo

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Cubo
Tipo Sólido platônico
Faces 6
Arestas 12
Vértices 8
Símbolo de Schläfli {4,3}
t{2,4} or {4}×{}
tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff 3
Símbolo de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetria Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície
Volume
Ângulo diédrico 90°
Poliedro dual Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação
Hexahedron flat color.svg
Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de cubo, veja cubo (desambiguação).

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

  • cada face tem 4 arestas;
  • de cada vértice partem 3 arestas;
  • vale a relação de Euler: , onde representa o número de vértices, o número de arestas e o número de faces.[1]

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

  • faces poligonais regulares e congruentes;
  • ângulos poliédricos congruentes.[1]

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos () com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.[2]

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler[editar | editar código-fonte]

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

sendo e , tem-se:

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma[editar | editar código-fonte]

Sendo o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

  • bases congruentes;
  • faces laterais e faces no total - as faces laterais e as bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
  • arestas laterais e arestas no total;
  • vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.[1]

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

Logo, substituindo por , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

  • .

Planificação do cubo[editar | editar código-fonte]

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.[3][4] E são elas:

Planos do Cubo

Área total da superfície do cubo[editar | editar código-fonte]

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo é dada por e supondo que cada aresta do cubo tenha medida , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será .

Logo a área total da superfície do cubo será .[1]

Diagonal do cubo[editar | editar código-fonte]

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

O segmento representa a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

onde representa a medida da aresta do cubo e representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

[1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

em que representa a diagonal do cubo, representa a aresta do cubo e a diagonal de uma das faces. Substituindo por :

[1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por .

Volume do cubo[editar | editar código-fonte]

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.[5] Assim,

onde representa o volume, a área da base e a altura.

Como a base é um quadrado de lado e a altura também vale (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

[5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera[editar | editar código-fonte]

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

[1]

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera[editar | editar código-fonte]

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

[1]

Poliedro dual do cubo[editar | editar código-fonte]

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.[6]

Octaedro

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta [editar | editar código-fonte]

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta do cubo. Fixando para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

[1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é .

Exemplos[editar | editar código-fonte]


Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Wikcionário
O Wikcionário tem o verbete Cubo.

Referências

  1. a b c d e f g h i Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual 
  2. Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba 
  3. http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
  4. http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
  5. a b Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018. 
  6. Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018. 
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