Teoria aditiva dos números

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Em teoria dos números, a teoria aditiva dos números estuda o comportamento de subconjuntos dos naturais sob a operação de soma, como por exemplo o problema de calcular a quantidade de maneiras de expressar um inteiro positivo como a soma de elementos de um certo conjunto de inteiros não-negativos. De maneira mais abstrata, a teoria aditiva dos números inclui o estudo de grupos abelianos e semigrupos comutativos com a operação de adição. A teoria aditiva dos números tem muitas ligações com teoria combinatória dos números e geometria dos números. Dois objetos principais de estudo são:

  • O sumset de dois subconjuntos A e B de um grupo abeliano G;

A + B = \{a+b : a \in A, b \in B\};

  • O k-ésimo sumset de A, i.e.

hA = \underset{h}{\underbrace{A + \cdots + A}}.

Dois problemas nesta área são a conjectura de Goldbach e o problema de Waring. Muitos destes problemas são estudados usando ferramentas como o Método do círculo de Hardy-Littlewood e Teoria dos crivos, além de abordagens mais elementares envolvendo o método probabilístico. Por exemplo, I. M. Vinogradov provou que todo número ímpar suficientemente grande é a soma de três primos, e assim todo inteiro suficientemente grande é pode ser escrito como soma de quatro primos. D. Hilbert mostrou que dado k>1, todo inteiro não-negativo pode ser expresso como soma de até h=h_k k-potências. Em geral, um subconjunto A dos naturais é chamado de base assintotica de ordem h se todo inteiro suficientemente grande pode ser escrito como soma de exatamente helementos do conjunto A. Uma base assintótica de ordem é chamado de minimal se não é subconjunto próprio de nenhuma outra base assintotica de ordem.

Grande parte da teoria aditiva dos números moderna se preocupa com as propriedades assintóticas de bases de ordem finita. Sabe-se que[carece de fontes?] bases minimais de ordem h existem para todo h> 1, mas existem bases assintóticas de ordem h que não contêm sub-bases minimais de mesma ordem.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Springer-Verlag, 1996.
  • Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer-Verlag, 1996.
  • Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Additive number theory», especificamente desta versão.
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