Teorema do valor médio

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O teorema do valor médio[1]

Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que :

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b

O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é , então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja


Então também é contínua em e derivável em . Além disso, . Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum  ∈  tal que . Mas

Funções com Valores Vetoriais[editar | editar código-fonte]

Se for uma função contínua de em R que seja derivável em , então já não é verdade que existe necessariamente algum  ∈  tal que

Considere-se, por exemplo, a função de em R definida por

.

Então

mas

No entanto, é verdade que existe sempre algum  ∈  tal que

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja  ∈ R um vector de norma 1 tal que

e seja

Então é contínua em e derivável em , pelo que existe algum  ∈  tal que

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

Generalização: Teorema de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Significado geométrico do teorema de Cauchy.

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva

então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24.