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O teorema do valor médio
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Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que
Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.
O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é
, então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é
.
Seja
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&f(x)-f(a)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb86583e16342af4d35173feef0a12b8477355c)
Então
também é contínua em
e derivável em
. Além disso,
. Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum
∈
tal que
. Mas

Se
for uma função contínua de
em R
que seja derivável em
, então já não é verdade que existe necessariamente algum
∈
tal que

Considere-se, por exemplo, a função
de
em R
definida por
.
Então

mas

No entanto, é verdade que existe sempre algum
∈
tal que

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja
∈ R
um vector de norma 1 tal que

e seja
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&\langle v,f(x)-f(a)\rangle .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d80255e530955d8069a3a6dc0bd21a82648ced)
Então
é contínua em
e derivável em
, pelo que existe algum
∈
tal que

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

Significado geométrico do teorema de Cauchy.
Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} ^{2}\\x&&\;\mapsto \;&{\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723fb410a8fddf87ef2b3191c65fcda848b8e82c)
então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.