Identidade de Euler

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Interpretação geométrica da identidade de Euler.

Em matemática, a identidade de Euler é a seguinte equação:

Segundo Richard P. Feynman, seria a identidade mais bela de toda a Matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i ² = -1), e é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A identidade é um caso especial da fórmula de Euler da análise complexa, que afirma que

para qualquer número real . Para tem-se

e como cos(π) = −1 e sin(π) = 0 por definição, obtém-se

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Prova da fórmula de Euler[editar | editar código-fonte]

Utilizando a série de Taylor como guia, definimos:

Resulta que essa função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que e se fizermos onde é um número real, obteremos:

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