Função exponencial natural

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A função exponencial natural

A função exponencial natural, denotada ex ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). A exponencial natural é caracterizada por ser idêntica à sua própria derivada.[1] [2]

A função exponencial natural surge na teoria das equações diferenciais na modelagem de grandezas que variam de forma proporcional a si mesmas aparecendo em problemas em física, química, engenharia, biologia matemática e economia.

Função exponencial
Representação ou
Inversa
Derivada
Integral indefinida

O gráfico de y = ex é uma curva de inclinação positiva e crescente. O gráfico está totalmente acima do eixo das abcissas e cresce mais rápido à medida que x aumenta. O eixo x é uma assíntota horizontal pois a curva se aproxima arbitrariamente de zero quando x é negativo. A declividade da reta tangente é sempre igual à coordenada y no ponto de tangência. A função inversa é o logaritmo natural ln(x), em função disso, alguns textos antigos se referem à função exponencial natural como antilogaritmo.[3]

Em geral, a variável x pode ser qualquer número real ou complexo. A função exponencial natural pode ser generalizada na função exponencial matricial ou, mesmo, para objetos matemáticos completamente distintos, ver, por exemplo, teorema espectral.

No estudo da análise matemática, a função exponencial natural em conjunto com o logaritmo natural pode ser usada para definir a função exponencial y=ax como y=eln(a)x onde a>0 e a≠1.[2]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

The exponential function (in blue), and the sum of the first n + 1 terms of the power series on the left (in red).

A função exponencial natural ex pode ser formalmente caracterizada de diversas maneiras distintas, porém equivalentes. Em particicular, podemos defini-la pela seguinte série de potências:[2][4]

Aqui, n! indica o fatorial de n, isto é, o produto de todos os números naturais inferiores ou iguais a n.

A mesma expressão pode ser obtida a partir da expansão em série de Taylor da exponencial quando se usa uma definição alternativa.

Menos frequentemente a função, y=ex é definida como a solução da seguinte equação integral:

Ou ainda como o seguinte limite:[5]

A função exponencial natural pode também ser definida como a única função diferenciável y=f(x) que satifaz o seguinte problema de valor inicial:

Finalmente, a função exponencial natural é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A exponencial natual satisfaz as seguinte propriedades[2]:

  • A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x.
  • A derivada da função y = ex é a própria função y = ex.
  • A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x.
  • ex+y = ex ey
  • A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:
  • Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:
  • A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

Função exponencial e equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais, ver Equação diferencial linear.

Função exponencial no plano complexo[editar | editar código-fonte]

A série de potências que define o exponencial natural dada por

converge absolutamente para todo número complexo z e converge uniformemente em cada subconjunto limitado do plano complexo. A função exponencial natural está definida em todo plano e satisfaz as seguintes propriedades:[4]

  1. A restrição de ez à reta real coincide com a função exponencial natural real.
  2. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário .
  3. Se t é um número real, então, (relação de Euler)
  4. Para todo número complexo z, existe w tal que ew = z.

Através destas propriedades, obtém-se que

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo natural a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral: para todos os números complexos z e w. Essa exponencial é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach[editar | editar código-fonte]

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

se (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

ex é invertível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

onde é um elemento fixo da álgebra e é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

Mapa exponencial nas álgebras de Lie[editar | editar código-fonte]

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

Referências

  1. Goldstein, Lay; Asmar Schneider (2006). Brief calculus and its applications 11 ed. [S.l.]: Prentice–Hall 
  2. a b c d e Rudin, Walter (1976). «8». Principles of Mathematical Analysis 3 ed. [S.l.]: McGraw-Hill 
  3. "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…" – p.12 of Converse and Durrell, Plane and spherical trigonometry, C.E. Merrill co., 1911.
  4. a b Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 3rd ed., 1986, ISBN 978-0-07-054234-1, page 1
  5. Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.