Grupo de Lie

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Um grupo de Lie (e/ou "Conjunto de Lie"), que é simbolizado matematicamente pelo "L e/ou S"(de Sterling), é uma variedade diferenciável que admite uma estrutura de grupo onde as operações multiplicação e inversão são deriváveis. Este conceito foi introduzido em 1870 por Sophus Lie ao estudar certas propriedades das equações diferenciais, nesse conjunto figuram diversas funções de grau superior a unidade, hiperbólicas, senoides, e outras funções em diversos graus, que possibilitam ao cálculo da derivada. Inclusive com estudos das funções de grau inferior a unidade, que foram expostas nos seus trabalhos, intitulado na época de "Princípios e Processos para as Diferenciações". Tal livro(tese), foi editado em diversos idiomas a partir de 1870, em diversas edições. Inclusive atualizadas pelo autor a medida que aprofundava seus estudos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \R^n - o espaço euclidiano real de dimensão n, visto como um grupo aditivo
  • GL_n(\R) - o grupo linear real de ordem n, com a operação de multiplicação de matrizes
  • \mathbb{H}^* - o grupo multiplicativo dos quaterniões não nulos
  • Seja  n \geq 1. O grupo GL(n,k) (onde k=\mathbb{R} ou \mathbb{C}) das matrizes inversíveis n por n é um grupo de Lie, visto que a operação multiplicação de matrizes é contínua, já que se A e B são matrizes, então as entradas de AB são somas de produtos de entradas de A e B.

É possível mostrar que todo subgrupo fechado de GL(n,k) também é grupo de Lie. Disto segue que U(n), SU(n), O(n) e  SO(n) são grupos de Lie para todo n \geq 1. Em geral, os subgrupos fechados de GL(n,k) são chamados de grupos de Lie clássicos.

Álgebra de Lie[editar | editar código-fonte]

Se G for uma variedade diferenciável de dimensão finita, existe uma construção que torna o espaço tangente à identidade de G uma álgebra, e esta é a chamada álgebra de Lie associada a G.

Em termos da teoria de categorias, o functor que associa a cada grupo de Lie a sua álgebra de Lie é uma transformação natural.

É possível mostrar que álgebra de Lie de um grupo de Lie G é isomorfa à álgebra dos campos vetoriais sobre G que são invariantes por translação.

É sabido que para cada n \geq 1, a álgebra de Lie associada ao grupo das matrizes n por n unitárias é a álgebra das matrizes n por n auto-adjuntas. Uma generalização deste fato para espaços de operadores limitados sobre espaços de Hilbert é de grande importância para a formulação matemática da Mecânica Quântica, e neste contexto, tal resultado é chamado de teorema de Stone.

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