Quaterniões

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Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias (). Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.[1][2]

é chamada de parte escalar do quaternião e é chamada de parte vetorial. Também dizemos que é a parte real e é a parte imaginária do quaternião. Aos números , , e denominamos coeficientes.

Conceitos[editar | editar código-fonte]

Numa conta deve-se fazer sempre 1° a multiplicação depois a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar[editar | editar código-fonte]

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( ).

Quaternião vetorial[editar | editar código-fonte]

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( ).

Conjugado de um quaternião[editar | editar código-fonte]

O conjugado de um quaternião é esse mesmo quaternião com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico , seu conjugado é então

.

Módulo[editar | editar código-fonte]

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número , seu módulo é então:

Operações elementares[editar | editar código-fonte]

Adição e subtração[editar | editar código-fonte]

Na soma ou subtração de quaterniões, somamos ou subtraímos os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

e

temos:

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Produto interno ou escalar[editar | editar código-fonte]

Dados os quaterniões e , o produto interno entre eles é dado por:

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial[editar | editar código-fonte]

Sejam e números quaterniônicos, então o produto exterior (usualmente, ) é definido como:

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que .

Divisão[editar | editar código-fonte]

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão e . Isso significa que a notação não pode ser usada a menos que ou seja um escalar.


Representação através de matrizes[editar | editar código-fonte]

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

  • Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
  • O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
  • O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson[editar | editar código-fonte]

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

.

Além disso, seja

,

tal que

,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, nós podemos agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

Já que

.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

.

Então o produto qp é

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência

.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Rotações de vetores em 3D[editar | editar código-fonte]

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, , e um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

em que q é o quaternião (de módulo 1)

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]