Curvatura

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Uma migração da célula Dictyostelium discoideum do tipo selvagem, cujo limite é colorido por curvatura. Barra de escala: 5 µm; Duração: 22 segundos.

Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

História[editar | editar código-fonte]

A curvatura de uma curva diferenciável foi originalmente definida através de círculos osculantes . Nesse cenário, Augustin-Louis Cauchy mostrou que o centro da curvatura é o ponto de interseção de duas linhas normais infinitamente próximas da curva. [1]

Geometria diferencial[editar | editar código-fonte]

Diferentes curvaturas.

Seja C o gráfico de uma função vetorial, no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em função do comprimento de arco. A ideia de curvatura está ligada à variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco s. O vetor tangente T varia somente em direção, visto que tem comprimento constante de norma unitária. Se C for uma reta, a direção de T permanece constante e dizemos então que tem curvatura nula. Note também que um círculo terá curvatura constante, já que o raio da curvatura do círculo é constante.

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional parametrizada pelo comprimento do arco, então a curvatura de C, é uma função escalar denotada por (onde κ é a letra grega kappa) e é definida por:

Observe que é uma função real de s, uma vez que é o comprimento de que mede a curvatura.

Temos que é paralelo ao vetor normal [2], ou seja

, onde

Os vetores T e N em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhada) e a alteração em T : δT δs é a distância entre os pontos. No limite dTds estará na direção N e a curvatura descreve a velocidade de rotação do quadro.

Fórmulas Frenet – Serret para curvas planas[editar | editar código-fonte]

A expressão da curvatura Em termos de parametrização no comprimento do arco, é essencialmente a primeira fórmula de Frenet – Serret:

onde os primos se referem às derivadas em relação ao comprimento do arco s, e N(s) é o vetor unitário normal na direção de T(s) .

Como as curvas planares têm torção zero, a segunda fórmula de Frenet-Serret fornece a relação

Para uma parametrização geral por um parâmetro t, é necessário expressões envolvendo derivadas em relação a t . Como estes são obtidos pela multiplicação por dos derivados em relação a s, é necessário, para qualquer parametrização adequada

Curva C. No ponto P, C se curva fortemente, no ponto Q o encurvamento é praticamente nulo e no ponto R a curva C curva-se levemente.

A curvatura em termos de um parâmetro qualquer t[editar | editar código-fonte]

Seja uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional. A curvatura pode ser determinada por[3]:


A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto é , onde é o comprimento da curva entre o ponto e um ponto , também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

Interpretação da curva no espaço bidimensional:

A curvatura no espaço bidimensional pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até o vetor tangente unitário) com relação à posição s. Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a s. No caso de uma reta, o ângulo é constante e, consequentemente, a curvatura é nula.

Curvas de espaço[editar | editar código-fonte]

Animação da curvatura e do vetor de aceleração T′(s)

Como no caso de curvas em duas dimensões, a curvatura de uma curva espacial regular C em três dimensões (e superior) é a magnitude da aceleração de uma partícula que se move com a velocidade unitária ao longo de uma curva. Assim, se γ(s) é a parametrização de C comprimento do arco, o vetor tangencial unitário T(s) é dado por

e a curvatura é a magnitude da aceleração:

A direção da aceleração é o vetor normal de unidade N(s), definido por

O plano que contém os dois vetores T(s) e N(s) é o plano osculador da curva em γ(s) . A curvatura tem a seguinte interpretação geométrica. Existe um círculo no plano osculador tangente a γ(s) cuja série de Taylor para segunda ordem no ponto de contato concorda com a de γ(s) . Este é o círculo de curvatura para a curva. O raio do círculo R(s) é chamado raio de curvatura e a curvatura é recíproca do raio de curvatura:

A tangente, a curvatura e o vetor normal juntos descrevem o comportamento de segunda ordem de uma curva perto de um ponto. Em três dimensões, o comportamento de terceira ordem de uma curva é descrito por uma noção relacionada de torção, que mede a extensão em que uma curva tende a se mover em um caminho helicoidal no espaço. A torção e a curvatura são relacionadas pelo Triedro de Frenet (em três dimensões) e sua generalização (em dimensões mais altas).

Círculo de curvatura ilustrando as propriedades da curvatura.

Raio de Curvatura[editar | editar código-fonte]

Em geral, se uma curva C no espaço bidimensional tem curvatura não nula no ponto P, então o círculo de raio que tangencia a curva C no ponto P e centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. Nesse ponto P, além de o círculo e a curva se tangenciarem, ambos têm a mesma curvatura. O círculo de curvatura em P é o círculo que melhor aproxima a curva C na vizinhança de P[3].

Curvatura na física[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Curvatura do espaço-tempo
Spacetime curvature.png

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2011), «Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus», Foundations of Science, 17 (3): 245–276, Bibcode:2011arXiv1108.2885B, arXiv:1108.2885Acessível livremente, doi:10.1007/s10699-011-9235-x 
  2. SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; ALMEIDA KONZEN, Pedro Henrique (2018). Cálculo Vetorial - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.] p. 11 
  3. a b ANTON, Howard (2014). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. p. 877. ISBN 9788582602454 

17, Mikhail G.; Alexandre (2011). Who gave you the Cauchy–Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus. [S.l.: s.n.] pp. 245–276 

Notas[editar | editar código-fonte]

Links Externos[editar | editar código-fonte]


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