Função vectorial

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Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5

Uma função vectorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cujo contradomínio é um conjunto de vectores multidimensionais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo[1] e de Análise Real[2].

Definição[editar | editar código-fonte]

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões , e de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

  • ;

onde , , são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de .

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

  • ;

Norma de uma Função Vectorial[editar | editar código-fonte]

Considerando uma função vectorial da forma:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:

|r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2

Limites e Continuidade[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial definimos o limite de quando tende a por:

se ambos os limites entre parênteses existirem. A definição de limite para funções a valores vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que é contínua em quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

  • pertence ao domínio de
  • existe o

Dizemos que é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial definimos a derivada de em relação a por:

Dizemos que é derivável (diferenciável) em quando existe. Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que . Além disso, vemos que é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para .

Regras de derivação[editar | editar código-fonte]

Sejam e funções vetoriais diferenciáveis, um vetor constante, uma função escalar diferenciável e um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

O ponto "" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Integrais[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial , definimos sua integral indefinida em relação a por:

onde é uma primitiva de , i.e. , e é um vetor indeterminado.

Além disso, se é qualquer primitiva de no intervalo , então a integral definida de de a é dada por:

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se com e funções integráveis em , então:

.

Vale resultado análogo para .

Categorias de Funções Vectoriais[editar | editar código-fonte]

Existem duas categorias de funções vectoriais, as que dependem de somente uma variável, da forma F(t), e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  1. Thomas, George (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874 
  2. Lima, Elon (2007). Análise no Espaço Rn. [S.l.]: IMPA. ISBN 978-85-244-0189-3 

3.