Função vectorial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5

Uma função vectorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cujo contradomínio é um conjunto de vectores multidimensionais. Estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo[1] e de Análise Real[2].

Definição[editar | editar código-fonte]

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões , e de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

  • ;

onde , , são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de .

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

  • ;

Limites e Continuidade[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial definimos o limite de quando tende a por:

se ambos os limites entre parênteses existirem. A definição de limite para funções a valores vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que é contínua em quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

  • pertence ao domínio de
  • existe o

Dizemos que é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial definimos a derivada de em relação a por:

Dizemos que é derivável (diferenciável) em quando existe. Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que . Além disso, vemos que é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para .

Regras de derivação[editar | editar código-fonte]

Sejam e funções vetoriais diferenciáveis, um vetor constante, uma função escalar diferenciável e um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

O ponto "" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Integrais[editar | editar código-fonte]

Dada uma função vetorial , definimos sua integral indefinida em relação a por:

onde é uma primitiva de , i.e. , e é um vetor indeterminado.

Além disso, se é qualquer primitiva de no intervalo , então a integral definida de de a é dada por:

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se com e funções integráveis em , então:

.

Vale resultado análogo para .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  1. Thomas, George (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. Pearson [S.l.] ISBN 9788581430874. 
  2. Lima, Elon (2007). Análise no Espaço Rn IMPA [S.l.] ISBN 978-85-244-0189-3.