Subgrupo

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Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam um grupo e um subconjunto não vazio de . Dizemos que é um subgrupo de se é fechado para a operação de e é um grupo. Notação:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Os subgrupos de são os conjuntos dos múltiplos de , para cada .
  • é um subgrupo de
  • é um subgrupo de
  • O conjunto é um subgrupo dos com a multiplicação usual de números complexos..

Resultado Importante[editar | editar código-fonte]

Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja um subconjunto não vazio de um grupo .Então é um subgrupo de se e somente se, para todo implica que

Propriedades hereditárias[editar | editar código-fonte]

Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

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