Teorema de Weierstrass

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Em matemática, o Teorema de Weierstrass ou Teorema dos Extremos afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a,b] em \mathbb{R}\, é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.

Um teorema relacionado é o Teorema da Limitância[1] , que determina que uma função f contínua e determinada em um intervalo fechado [a,b]

é limitada nesse nesse intervalo. Ou seja, existem números reais M e m tal que

m ≤ f(x) ≤ M

O Teorema de Weierstrass incrementa o Teorema da Limitância ao dizer que f, em [a,b], não só é limitada, mas também tem como maior valor o Limite Máximo e como menor valor o Limite Mínimo.

O Teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. Em uma formulação de Karl Weierstrass, o teorema determina que em uma função contínua de um espaço compacto contínuo com contradomínio sendo um subconjunto dos Reais possui pontos de máximo e mínimo, que podem ser mínimos locais ou globais, e podem ser tanto pontos no meio da curva quanto seus próprios extremos.[2]

História[editar | editar código-fonte]

O teorema do valor extremo foi, originalmente, provado por Bernard Bolzano, nos anos 30 do século XIX, em seu trabalho Function Theory, mas a obra permaneceu não publicada até a década de 1930. A prova de Bolzano consistiu em mostrar que em uma função contínua em um intervalo fechado era limitada, e depois mostrou que a função atingia um valor máximo e mínimo. Ambas as provas envolviam o que, hoje, é conhecido como Teorema de Bolzano-Weierstrass (Rusnock & Kerr-Lawson 2005). O mesmo resultado foi descoberto, depois, por Weierstrass, na década de 1860.[3]

Funções para as quais o teorema não é aplicável[editar | editar código-fonte]

Os seguintes exemplos mostram porque o domínio da função deve ser fechado e limitado para a aplicação do teorema. Cada um falha em atingir o máximo no intervalo dado.

  1. f(x) = x definida para [0,+∞) não possui limite superior.
  2. f(x) = x/(x+1) definida para [0,+∞) possui limite mas nunca o atinge.
  3. f(x) = 1/x definida para (0,1] não possui limite superior.
  4. f(x) = 1 - x definida para (0,1] possui limite mas nunca o atinge.

Os dois últimos casos fazem clara a ideia de que é preciso um intervalo fechado, contínuo e limitado [a,b] para a aplicação do teorema.[4]

Enunciado formal[editar | editar código-fonte]

Sejam a,b ∈  \mathbb{R}\, tais que a ≤ b e seja f uma função contínua de [a,b] em \mathbb{R}\,. Então existem números xm,xM ∈ [a,b] tais que

(\forall x\in[a,b]):f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M).

Em particular, a função f é limitada.

Generalização para um espaço topológico arbitrário.[editar | editar código-fonte]

Se nos mudarmos da reta real para um espaço topológico arbitrário, o análogo ao intervalo fechado e limitado na reta dos reais na topologia é o espaço compacto.

É sabido que a compacticidade é preservada por funções contínuas. Por exemplo: a imagem de um espaço compacto é também um espaço compacto. Sendo que o subconjunto de uma reta real é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.[5]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Comecemos por provar que f é limitada. Caso não fosse, haveria, para cada número natural n, algum número xn ∈ [a,b] tal que |f(xn)| ≥ n. A sucessão (xn)n é limitada (cada xn está em [a,b]), pelo que, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, tem alguma subsucessão convergente. Existe então alguma sucessão (yn)n de elementos de [a,b] que converge para algum y ∈ [a,b] tal que

\lim_{n\in\mathbb{N}}|f(y_n)|=+\infty;

em particular, a sucessão (f(yn))n não é limitada.

Por outro lado, f é contínua em y, pelo que existe algum δ > 0 tal que

(\forall x\in[a,b]):|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1\Rightarrow|f(x)|<|f(y)|+1.

Mas, para n suficientemente grande, |yn − y| < δ, pelo que |f(yn)| < |f(y)| + 1; em particular, a sucessão (f(yn))n é limitada.

Chegou-se a uma contradição, que resultou de se ter suposto que f não é limitada. Logo, f é limitada.

Seja s o supremo da imagem de f. Se s não estivesse na imagem de f, então a função

\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\frac1{s-f(x)}\end{array}

seria contínua mas não seria limitada. Mas já foi visto que isso não é possível. Logo, s = f(xM), para algum xM ∈ [a,b]. Pelo mesmo argumento, existe algum xm ∈ [a,b] tal que f(xm) é o ínfimo da imagem de f.

  1. boundedness theorem | planetmath.org planetmath.org. Visitado em 2015-11-27.
  2. "Extreme value theorem" (em en).
  3. "Extreme value theorem" (em en).
  4. "Extreme value theorem" (em en).
  5. "Extreme value theorem" (em en).