Teorema de Weierstrass

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Em matemática, o Teorema de Weierstrass ou Teorema dos Extremos afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a,b] em é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.

Um teorema relacionado é o Teorema da Limitância[1], que determina que uma função f contínua e determinada em um intervalo fechado [a,b]

é limitada nesse nesse intervalo. Ou seja, existem números reais M e m tal que

m ≤ f(x) ≤ M

O Teorema de Weierstrass incrementa o Teorema da Limitância ao dizer que f, em [a,b], não só é limitada, mas também tem como maior valor o Limite Máximo e como menor valor o Limite Mínimo.

O Teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. Em uma formulação de Karl Weierstrass, o teorema determina que em uma função contínua de um espaço compacto contínuo com contradomínio sendo um subconjunto dos Reais possui pontos de máximo e mínimo, que podem ser mínimos locais ou globais, e podem ser tanto pontos no meio da curva quanto seus próprios extremos.[2]

História[editar | editar código-fonte]

O teorema do valor extremo foi, originalmente, provado por Bernard Bolzano, nos anos 30 do século XIX, em seu trabalho Function Theory, mas a obra permaneceu não publicada até a década de 1930. A prova de Bolzano consistiu em mostrar que em uma função contínua em um intervalo fechado era limitada, e depois mostrou que a função atingia um valor máximo e mínimo. Ambas as provas envolviam o que, hoje, é conhecido como Teorema de Bolzano-Weierstrass (Rusnock & Kerr-Lawson 2005). O mesmo resultado foi descoberto, depois, por Weierstrass, na década de 1860.[3]

Funções para as quais o teorema não é aplicável[editar | editar código-fonte]

Os seguintes exemplos mostram porque o domínio da função deve ser fechado e limitado para a aplicação do teorema. Cada um falha em atingir o máximo no intervalo dado.

  1. f(x) = x definida para [0,+∞) não possui limite superior.
  2. f(x) = x/(x+1) definida para [0,+∞) possui limite mas nunca o atinge.
  3. f(x) = 1/x definida para (0,1] não possui limite superior.
  4. f(x) = 1 - x definida para (0,1] possui limite mas nunca o atinge.

Os dois últimos casos fazem clara a ideia de que é preciso um intervalo fechado, contínuo e limitado [a,b] para a aplicação do teorema.[4]

Enunciado formal[editar | editar código-fonte]

Sejam a,b ∈  tais que a ≤ b e seja f uma função contínua de [a,b] em . Então existem números xm,xM ∈ [a,b] tais que

Em particular, a função f é limitada.

Generalização para um espaço topológico arbitrário.[editar | editar código-fonte]

Se nos mudarmos da reta real para um espaço topológico arbitrário, o análogo ao intervalo fechado e limitado na reta dos reais na topologia é o espaço compacto.

É sabido que a compacticidade é preservada por funções contínuas. Por exemplo: a imagem de um espaço compacto é também um espaço compacto. Sendo que o subconjunto de uma reta real é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.[5]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Comecemos por provar que f é limitada. Caso não fosse, haveria, para cada número natural n, algum número xn ∈ [a,b] tal que |f(xn)| ≥ n. A sucessão (xn)n é limitada (cada xn está em [a,b]), pelo que, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, tem alguma subsucessão convergente. Existe então alguma sucessão (yn)n de elementos de [a,b] que converge para algum y ∈ [a,b] tal que

em particular, a sucessão (f(yn))n não é limitada.

Por outro lado, f é contínua em y, pelo que existe algum δ > 0 tal que

Mas, para n suficientemente grande, |yn − y| < δ, pelo que |f(yn)| < |f(y)| + 1; em particular, a sucessão (f(yn))n é limitada.

Chegou-se a uma contradição, que resultou de se ter suposto que f não é limitada. Logo, f é limitada.

Seja s o supremo da imagem de f. Se s não estivesse na imagem de f, então a função

seria contínua mas não seria limitada. Mas já foi visto que isso não é possível. Logo, s = f(xM), para algum xM ∈ [a,b]. Pelo mesmo argumento, existe algum xm ∈ [a,b] tal que f(xm) é o ínfimo da imagem de f.

  1. «boundedness theorem | planetmath.org». planetmath.org. Consultado em 27 de novembro de 2015 
  2. «Extreme value theorem» (em inglês).  
  3. «Extreme value theorem» (em inglês).  
  4. «Extreme value theorem» (em inglês).  
  5. «Extreme value theorem» (em inglês).