Supremo e ínfimo

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Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Definições[editar | editar código-fonte]

Seja , um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado pela relação .

  • Um elemento é dito majorante, limite superior ou cota superior de se:
  • Um elemento é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de se:
  • Um elemento é dito supremo de se for o menor dos majorantes:
e
  • Um elemento é dito ínfimo de se for o maior dos minorantes:
e
  • Um majorante é dito máximo de se .
  • Um minorante é dito mínimo de se .
  • Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
  • Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação[editar | editar código-fonte]

  • Se um conjunto possui máximo, ele é denotado:
  • Se um conjunto possui mínimo, ele é denotado:
  • Se um conjunto possui supremo, ele é denotado:
  • Se um conjunto possui ínfimo, ele é denotado:

Se é uma função de um conjunto em um conjunto parcialmente ordenado , então usa-se a notação:

e suas análogas.

Completude[editar | editar código-fonte]

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto BA, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O intervalo fechado possui um elemento mínimo e máximo .
  • O intervalo semi fechado possui um elemento mínimo , todo é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
Esse conjunto possui um supremo real, e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.
Esse conjunto tem mínimo e máximo , segundo a ordem .
Todo tem supremo e ínfimo em , segundo a ordem .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • , contanto que ambos existam.
  • , contanto que ambos existam.
  • , contanto que ambos existam.

As duas últimas propriedades são chamadas de monotonicidade.

No conjunto de números reais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: axioma do supremo
  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, , podemos considerar:

  • O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como .
  • O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como .
  • Na notação de supremo, temos que uma função é limitada se e somente se:
, ou, considerando os reais estendidos,

Supremo e ínfimo do conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

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