Completude (lógica)

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Em lógica matemática e na metalógica, um sistema formal é chamado completo com respeito a uma propriedade específica se toda fórmula tendo a propriedade pode ser obtida usando esse sistema, isto é, é um de seus teoremas; caso contrário, o sistema é dito incompleto. O termo "completo" também é usado sem qualificação, com significados diferentes dependendo do contexto, geralmente se referindo à propriedade da validade semântica. Intuitivamente, um sistema é chamado de completo nesse sentido particular, se ele pode obter todas as fórmulas verdadeiras. Kurt Gödel, Leon Henkin, e Emil Leon Post publicaram provas de completude.

Outras propriedades relacionadas a completude[editar | editar código-fonte]

A propriedade recíproca da completude é chamada corretude: um sistema é correto com respeito a uma propriedade (principalmente validade semântica) se cada um dos seus teoremas possuem essa propriedade.

Formas da completude[editar | editar código-fonte]

Completude expressiva[editar | editar código-fonte]

Uma linguagem formal é expressivamente completa se pode expressar o objeto que é destinado.

Completude funcional[editar | editar código-fonte]

Um conjunto de conectivos lógicos associados com o sistema formal é funcionalmente completo se pode expressar todas as funções proposicionais.

Completude semântica[editar | editar código-fonte]

Completude semântica é a recíproca da corretude para sistemas formais. Um sistema formal é completo com respeito a tautologia quando todas suas tautologias são teoremas, enquanto que um sistema formal é correto quando todos os teoremas são tautologias (isto é, eles são fórmulas semanticamente válidas: fórmulas que são verdadeiras em qualquer interpretação da linguagem do sistema que é consistente com as regras do sistema. Isto é:

 \models_{\mathcal S} \varphi\ \to\ \vdash_{\mathcal S} \varphi.[1]

Completude forte[editar | editar código-fonte]

Um sistema formal S é fortemente completo ou completo no sentido forte se para todo conjunto de premissas Γ, qualquer fórmula que semanticamente segue de Γ é obtida de Γ. Isto é:

Refutação da completude[editar | editar código-fonte]

Um sistema formal S é refutação-completo se for possível obter um falso de todo conjunto de fórmulas insatisfatível. Isto é,

 \Gamma \models_{\mathcal S} \bot \to\ \Gamma \vdash_{\mathcal S} \bot.[2]

Todo sistema fortemente completo é também refutação-completo. Indutivamente, completude forte significa que, dado um conjunto de fórmulas \Gamma, é possível computar toda consequência semântica \varphi de \Gamma, enquanto a refutação-completude significa que, dado um conjunto de fórmulas \Gamma e a fórmula \varphi, é possível conferir se \varphi é um consequência semântica de \Gamma.

Exemplos do sistema de refutação completude inclui: resolução SLD nas cláusulas de Horn, superposição em cláusulas equacionais da lógica de primeira ordem, Princípio da Resolução de Robinson em conjunto de cláusulas.[3] Esse último não é fortemente completo: por exemplo,  \{ a \} \models a \lor b se verifica mesmo no subconjunto proposicional da lógica de primeira ordem, mas a \lor b não pode ser obtido de \{ a \} pela resolução. Todavia, \{ a, \lnot (a \lor b) \} \vdash \bot pode ser obtido.

Completude sintática[editar | editar código-fonte]

Um sistema formal S é sintaticamente completo ou dedutivamente completo ou maximamente completo se para toda sentença (fórmula fechada) φ da linguagem do sistema, φ ou ¬φ é um teorema de S. Isso também é chamado de negação-completude. Em outro sentido, um sistema formal é sintaticamente completo se e somente se não é possível adicionar uma sentença não demonstrável sem introduzir uma inconsistência. A lógica proposicional verofuncional e a lógica de predicados de primeira ordem são semanticamente completas, mas não sintaticamente completas (por exemplo, a declaração da lógica proposicional consistindo de uma única variável proposicional A, não é um teorema, e nem sua negação, mas essas não são tautologia). O Teorema da incompletude de Gödel mostra que qualquer sistema recursivo que é suficientemente poderoso, como o axioma de Peano, não pode ser consistente e sintaticamente completo ao mesmo tempo.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971
  2. David A. Duffy. Principles of Automated Theorem Proving. [S.l.]: Wiley, 1991.
  3. Stuart J. Russell, Peter Norvig. Artificial Intelligence: A Modern Approach. [S.l.]: Prentice Hall, 1995.