Grupo de renormalização

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Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de Renormalização no espaço de momentos[editar | editar código-fonte]

Suponha uma teoria quântica de campos com campos e constantes de acoplamento descrita pela ação clássica . Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências . Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta . Isto é, limitamos a integral ao disco

Chamaremos esse campos de e diremos que ele é o campo na escala . Então

Também chamaremos a constante de acoplamento de . A função partição sobre os campos é

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo é praticamente constante em distâncias menores que . Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a intrudção desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo , onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita regulares.[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

e

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

onde B e A referemem a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que , por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos . O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de . Ela pode ser obtida integrando sobre na integral de trajetória, mantendo variável

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia . Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo , a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

Aqui, e são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

é regular no limite para o contínuo. Os campos e as contantes na escala de corte são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto e são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik[editar | editar código-fonte]

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar e variar . Nós fixamos os campos e constantes de acoplamento numa escala (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus e as contantes nuas . Se pudermos mover para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia (descrito por e ), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover , fixando e consequentemente e . Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de para , as constantes de acoplamento mudarão de para , onde é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entr , podemos repetir o raciocínio e escrever . Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik[3] e o campo vetorial é chamado função beta da constante de acoplamento .

Campos massivos[editar | editar código-fonte]

Exemplo: grupo de renormalização perturbativo na teoria [editar | editar código-fonte]

Notas e referências

  1. Wilson (1975). «The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem». Rev. Mod. Phys. [S.l.: s.n.] 47 (4): 773.  Parâmetro desconhecido |gfirst= ignorado (Ajuda)
  2. Há maneiras de regularizar uma teoria sem quebrar a invariância por simetrias clássicas. Em particular, o método de regularização dimensional é comum na prática.
  3. C. G. Callan, K. Symanzik (1970). «Small Distance Behavior in Field Theory and Power Counting.». Comm. Math. Phys. [S.l.: s.n.] 18: 227.