Teoria da aproximação

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Na matemática, a teoria da aproximação preocupa-se com a melhor maneira de aproximar as funções a funções mais simples e obtendo a caracterização quantitativa dos erros introduzidos pela função aproximada em relação à função original. Observe que o que se entende por melhor e mais simples dependerá do contexto de aplicação.

Um tópico intimamente relacionado é a aproximação de funções por séries generalizadas de Fourier, ou seja, aproximações baseadas no somatório de uma série de termos baseados em polinómios ortogonais.

Erro entre a aproximação polinomial ideal e exp (x) (vermelho) e a aproximação de Chebyshev e exp (x) (azul) no intervalo [−1, 1]. As divisões verticais são 10−4. O erro máximo para o polinómio optimal é 5,47 × 10−4.

Um problema de interesse particular é o de aproximar funções em bibliotecas matemáticas computacionais, usando

Erro entre o polinómio optimal e o log (x) (vermelho) e a aproximação de Chebyshev e o log (x) (azul) no intervalo [2, 4]. As divisões verticais são 10-5. O erro máximo para o polinómio optimal é 6,07 × 10-5.

operações que podem ser executadas no computador ou na calculadora (por exemplo, adição e multiplicação), de modo a que o resultado seja o mais próximo possível da função real. Isso geralmente é feito com aproximações polinomiais ou racionais (razão de polinómios).

O objetivo é tornar a aproximação o mais próxima possível da função real, normalmente com uma precisão máxima até aos números depois da vírgula (ex: 3,1415926...). Isto é realizado utilizando um polinómio de grau elevado, e / ou reduzindo o domínio polinomial que deve aproximar a função. O estreitamento do domínio geralmente pode ser feito através do uso de várias fórmulas de adição ou dimensionamento para a função que está sendo aproximada. As bibliotecas matemáticas modernas geralmente reduzem o domínio em muitos segmentos minúsculos e usam um polinómio de baixo grau para cada segmento.

Polinómios optimais[editar | editar código-fonte]

Depois que o domínio (geralmente um intervalo) e o grau do polinómio forem escolhidos, o próprio polinómio é escolhido de maneira a minimizar o maior erro possível. Ou seja, o objetivo é minimizar o valor máximo de , em que P(x) é o polinómio aproximado, f(x) é a função real. Para funções bem comportadas, existe um polinómio de grau N que leva a uma curva de erro que oscila entre e no total de N+2 vezes, dando um erro de pior caso de . É visto que existe um polinómio de enésimo grau que pode interpolar pontos N+1 numa curva. Esse polinómio é sempre ideal. É possível criar funções inventadas f (x) para as quais não exista esse polinómio, mas essas ocorrem raramente na prática.


Funções aproximadas a funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Função trigonométrica

Função seno: y=sin(x)[editar | editar código-fonte]

Legenda para imagem de sen(x).jpg

Esta aproximação deve-se ao facto de que a função trigonométrica sen(x) possa ser escrita na forma:

Esta relação não passa de uma simples igualdade. Esta relação permite abrir os horizontes ao mundo dos números complexos, por exemplo:

É visível no gráfico que 2 não pertence ao contradomínio da função sen(x), isto deve-se ao facto de que o gráfico só indica os números pertencentes a IR, por isso devemos de apoiar nos números complexos, para tal precisamos da identidade de Euler:

Identidade de Euler: [editar | editar código-fonte]

então:

e , subtraindo as igualdades, obtemos:

Substituindo na função polinominal aproximada, teremos: ;



Função cosseno: y=cos(x)[editar | editar código-fonte]

Legendas cossenovsaprox.jpg

Esta aproximação deve-se ao facto de que a função trigonométrica sen(x) possa ser escrita na forma:







Referências

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