Transformada de Fourier

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Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,[1] decompõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como um acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de deslocamento da base sinusoidal naquela frequência.

A transformada de Fourier é chamada de representação do domínio da frequência do sinal original. O termo transformada de Fourier refere-se à ambas representações do domínio frequência e a operação matemática que associa a representação domínio frequência a uma função temporal. A transformada de Fourier não é limitada a funções temporais, contudo para fins de convenção, o domínio original é comumente referido como domínio do tempo. Para muitas funções de interesse prático, pode-se definir uma operação de reversão: a transformada inversa de Fourier, também chamada de síntese de Fourier, de um domínio de frequência combina as contribuições de todas as frequências diferentes para a reconstituição de uma função temporal original.

Operações lineares aplicadas em um dos domínios(tempo ou frequência) resultam em operações correspondentes no outro domínio, o que, em certas ocasiões, podem ser mais fáceis de efetuar. A operação de diferenciação no domínio do tempo corresponde à multiplicação na frequência, o que torna mais fácil a análise de equações diferenciais no domínio da frequência. Além disso, a convolução no domínio temporal corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência. Isso significa que qualquer sistema linear que não varia com o tempo, como um filtro aplicado a um sinal, pode ser expressado de maneira relativamente simples como uma operação nas frequências. Após realizar a operação desejada, a transformação do resultado alterna para o domínio do tempo. A Análise harmônica é o estudo sistemático da relação entre os domínios de tempo e frequência, incluindo os tipos de funções ou operações que são mais "simples" em um ou em outro, e possui ligações profundas a muitas áreas da matemática moderna.

Índice

Definição[editar | editar código-fonte]

Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função . Utilizaremos a seguinte representação:

A afirmação de que pode ser reconstruída a partir de é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções e são conhecidas como par integral de Fourier.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: Análise de Fourier

Uma motivação para a transformada de Fourier vêm do estudo da série de Fourier. Nesse estudo, funções complicadas porém periódicas são escritas como o somatório de ondas simples matematicamente representadas por senos e cossenos. A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier que resulta quando o período da função representada é maximizado, aproximando-se do infinito.

Nos primeiros quadros, uma função é representada por uma série de Fourier: uma combinação linear de senos e cossenos (em azul). As componentes frequência desses senos e cossenos distribuem-se ao longo do espectro de frequência; são representadas como deltas de Dirac no eixo . A representação do domínio da função é o conjunto desses picos nas frequências que aparecem na resolução da função.

Devido às propriedades dos senos e dos cossenos, é possível determinar a amplitude de cada onda da série de Fourier utilizando uma integração. Em muitos casos é desejável usar a identidade de Euler, , para escrever a série de Fourier em termos de ondas básicas . Esse procedimento possui a vantagem de simplificar muitas fórmulas envolvidas e provém uma formulação da série de Fourier que relembra a definição utilizada nesse artigo. Reescrevendo senos e cossenos como exponenciais complexas torna necessário que os coeficientes de Fourier sejam valores complexos. A intepretação usual desse número complexo é que ele fornece ambas amplitude (ou tamanho) da onda presente na função e a fase (ou ângulo inicial) da onda. Essas exponenciais complexas algumas vezes possuem "frequências" negativas. Se é medido em segundos, então ambas ondas e completam um ciclo por segundo mas representam frequências diferentes na transformada de Fourier. Assim, frequência não mais mede o número de ciclos por unidade de tempo, mas ainda possui interpretação similar.

Existe uma forte conexão entre as definições de série de Fourier e a transformada de Fourier para funções que são zero fora de um intervalo. Para tal função, pode-se calcular sua série de Fourier em qualquer intervalo que inclui os pontos onde não é identicamente zero. A transformada de Fourier também é definida para tal função. À medida que aumenta-se o comprimento do intervalo em que calcula-se a série de Fourier, então os coeficientes da série de Fourier começam a assemelhar-se à transformada de Fourier e o somatório da série de Fourier de começa a assemelhar-se à transformada inversa de Fourier. Para explicar isso mais precisamente, suponha que é suficientemente longo que o intervalo contenha o intervalo em que não seja identicamente zero. Então o n-ésimo termo do coeficiente será dado por

Comparando isso com a definição de transformada de Fourier, pode-se deduzir que

desde que seja nula fora do intervalo .

Sob certas condições, a série de Fourier de pode ser igual à função . Em outras palavras, pode ser escrita como

onde o segundo somatório é simplesmente o primeiro somatório reescrito, utilizando as definições e .

O segundo somatório configura uma soma de Riemann, e à medida em que ela convergirá para a integral da transformada de Fourier inversa apresentada na seção de Definição.

No estudo da série de Fourier os números podem ser interpretados como a "quantidade" da onda presente na série de Fourier de . Semelhantemente, como visto acima, a transformada de Fourier pode ser vista como a função que mensura o quanto de cada frequência individual encontra-se presente na função , e pode-se recombinar essas ondas com o uso da transformada inversa de Fourier, reproduzindo a função original.

Propriedades da transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

Assume-se aqui que , e são funções integráveis: Lebesgue-mensuráveis no domínio satisfazendo

Denota-se as transformadas de Fourier destas funções como , e , respectivamente.

Propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier possui as seguintes propriedades básicas:

Linearidade

Para quaisquer números complexos e, se , então

Translação ou deslocamento no tempo

Para qualquer número real , se , então

Modulação ou deslocamento na frequência

Para qualquer número real , se , então

Mudança de escala

Para um número real não-nulo, se , então O caso leva à propriedade da inversão temporal, a qual afirma: se , então

Conjugação

Se , então ou

Em particular, se , têm-se a condição de realidade , ou seja, é uma função Hermitiana.

Por outro lado, se é puramente imaginária então

Integração

Substituindo na definição, obtém-se que , ou seja, a avaliação da transformada de Fourier na origem corresponde à integral de sobre todo o eixo.

Invertibilidade e periodicidade[editar | editar código-fonte]

Sob certas condições, a função pode ser recuperada através de sua transformada de Fourier. De fato, denotando a transformada de Fourier por , e portanto , aplicando a transformada de Fourier duplamente resulta em uma inversão do sinal da variável: , o que pode ser interpretado como "reversão temporal". Como a reversão temporal é bi-periódica, realizando essa operação duas vezes resulta em . Analogamente, a transformada inversa de Fourier pode ser obtida aplicando a transformada de Fourier três vezes, .

Define-se, assim, o operador Paridade , que inverte o tempo :

Teorema de Plancherel e Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

Sejam e integráveis e e suas respectivas transformadas de Fourier. Se os quadrados de e sejam integráveis, então temos a fórmula de Parseval:

onde e são conjugados complexos.

O teorema de Plancherel, que segue o princípio acima, afirma que

Diferenciação[editar | editar código-fonte]

Suponha que seja uma função diferenciável e ambas e sua derivada são integráveis. Então a transformada de Fourier da derivada é dada por

Mais amplamente, a transformada de Fourier da n-ésima derivada é dada por

Ao aplicar a transformada de Fourier e utilizar tais propriedades, algumas equações diferenciais ordinárias podem ser transformadas em equações algébricas, que possuem complexidade reduzida. Estas propriedades também implicam que " é suave se, e somente se, decai rapidamente para quando ". Utilizando a regra análoga para a transformada inversa de Fourier, pode-se dizer que " decai rapidamente para quando se, e somente se, é suave".

Teorema da Convolução[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier translada entre convolução e multiplicação de funções. Se e são funções integráveis com as transformadas de Fourier e , respectivamente, então a transformada de Fourier da convolução é dada pelo produto das transformadas de Fourier e .

Isso significa que, se

então

Em sistemas lineares invariantes no tempo, é comum intepretar como o impulso de resposta de um sistema linear invariante no tempo com como entrada e como a saída, já que substituindo a unidade de impulso por obtém-se . Neste caso, representa a frequência de resposta do sistema.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Análise de equações diferenciais parciais[editar | editar código-fonte]

Talvez a a aplicação de maior importância da transformada de Fourier seja a resolução de equações diferenciais parciais. Muitas das equações da física matemática do século XIX podem ser tratadas desta maneira. Fourier estudou a equação do calor, a qual em uma dimensão é

Contudo, daremos um exemplo de dificuldade levemente maior, a equação da onda em uma dimensão,

Aqui, o problema não resume-se a achar uma solução: existem infinitas. A dificuldade reside no chamado "problema de contorno": encontrar uma solução que satisfaça as "condições de contorno"

Aqui, e não são funções fornecidas. Para a equação do calor, apenas uma condição de contorno pode ser fornecida(geralmente a primeira). Porém, para a equação da onda, existem infinitas soluções que satisfazem a primeira condição de contorno. Contudo, quando as duas condições são impostas, existe apenas uma solução possível.

A dificuldade de encontrar a transformada de Fourier da solução consiste uma tarefa muito mais simples do que procurar a solução diretamente. Isso acontece porque a transformação gera produtos a partir de diferenciação, e portanto uma equação diferencial parcial aplicada à solução original é transformada em multiplicação por funções polinomiais de duas variáveis aplicada à função transformada. Depois que é determinada, pode-se aplicar a transformada inversa de Fourier com a finalidade de encontrar .

O método de Fourier é explicado abaixo. Primeiramente, note que qualquer função das formas

satisfaz a equação da onda. Estas são chamadas soluções elementares.

Segundamente, note que, portanto, qualquer integral

(para arbitrários , , e ) satisfaz a equação. (Essa integral é apenas um tipo de combinação linear contínua, e a equação é linear.)

Espectroscopia[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier também é utilizada em ressonância magnética nuclear e em outras tipos de espectroscopia, como a infravermelha. Na ressonância magnética nuclear um sinal de decaimento livre induzido em forma exponencial é adquirido no domínio do tempo e Fourier-transformado em uma linha com forma Lorentziana no domínio da frequência. A transformada de Fourier também é aplicada na ressonância magnética por imagem e em espectroscopia de massas.

Mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier é útil na Mecânica Quântica de duas maneiras diferentes. Para começar, a Mecânica Quântica postula a existência de pares de variáveis complementares, ligados pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Por exemplo, em uma dimensão, a variável espacial q de uma partícula, pode ser apenas medida pelo "operador de posição" à custa de perda de informações sobre o momento da partícula. Portanto, o estado físico da partícula pode ser descrita por uma função, chamada "função de onda", de ou por uma função de , mas não por uma função de duas variáveis. A variável é chamada de variável conjugada de . Na Mecânica Clássica, o estado físico de uma partícula (existente em uma dimensão, para simplificação) seria dada atribuindo valores para ambos e simultaneamente. Assim, o conjunto de todos os estados físicos possíveis é o espaço vetorial real, bidimensional com um eixo- e um eixo-.

Em contraste, a mecânica quântica escolhe uma polarização do espaço escolhendo um subespaço de metade da dimensão, por exemplo, o eixo-, mas em vez de se considerar apenas os pontos, converte o conjunto de todas as "funções de onda" complexas sobre esse eixo. No entanto, a escolha do eixo- é uma polarização igualmente válida, obtendo-se uma representação diferente do conjunto de possíveis estados físicos da partícula que está relacionada com a primeira representação pela transformação de Fourier.

Fisicamente estados de realização são e assim pelo teorema Plancherel, suas transformadas de Fourier também são . (Nota-se que desde que é em unidades de distância e  está em unidades de força, a presença da constante de Planck no expoente faz com que o expoente seja adimensional, como deve ser.)

Portanto, a transformada de Fourier pode ser utilizada para passar de um modo de representar o estado da partícula, por uma função posição de onda, para uma outra maneira de representar o estado da partícula: por uma função de impulso de onda. Há infinitas maneiras de polarizações possíveis, e todas são igualmente válidas. Ser capaz de transformar estados de uma representação para outra às vezes é conveniente.

O outro uso da transformada de Fourier na mecânica quântica e na teoria quântica de campos é resolver a equação de onda aplicável. Na mecânica quântica não-relativística, a equação de Schrödinger para uma função de onda variável no tempo em uma dimensão, não sujeita a forças externas, é

Esta equação é a mesma para a equação do calor, exceto pela presença da unidade imaginária i . Os métodos de Fourier podem ser utilizados para resolver esta equação.

Na presença de um potencial, determinado pela função de energia potencial a equação torna-se

As "soluções elementares", são os chamadas "estados estacionários " da partícula, e o algoritmo de Fourier, ainda pode ser usado para resolver o problema de contorno da evolução dado os seus valores em . Nenhuma destas abordagens é de uso muito prático em Mecânica Quântica. Problemas de contorno e a evolução do tempo de uma função de onda não é de grande interesse prático: são os estados estacionários os mais importantes.

Na mecânica quântica relativística, a equação de Schrödinger torna-se uma equação de onda comum na física clássica, a não ser que as ondas de valores complexos sejam consideradas. Um exemplo simples, na ausência de interações com outras partículas ou campos, é a equação unidimensional livre de Klein - Gordon - Schroedinge - Fock , desta vez em unidades adimensionais.

Essa é, do ponto de vista matemático, a mesma que a equação de onda da física clássica resolvida acima (mas com uma onda de valor complexo, que não faz qualquer diferença nos métodos). Isto é de grande utilidade na teoria quântica de campos: cada componente separado de Fourier de uma onda pode ser tratado como um oscilador harmônico separado e, em seguida, quantificado. Procedimento conhecido como "segunda quantização”. Métodos de Fourier foram adaptadas para lidar também com interações não-triviais.

Processamento de sinais[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier é aplicada para a análise espectral de séries temporais. O sujeito de processamento estatístico de sinal geralmente não aplica-se, contudo, a transformação de Fourier ao sinal em si. Mesmo se o sinal real é de fato transiente, têm sido encontrado em recomendação prática modelar o sinal por uma função (ou, alternativamente, um processo Estocástico) que é estacionário no sentido que suas propriedades características são constantes no eixo temporal. A transformada de Fourier de tal função não existe no sentido usual, e têm encontrado-se mais útil para a análise de sinais do que aplicar a transformada de Fourier de sua função autocorrelata.

A autocorrelação de uma função é definida por

Esta função é uma função do atraso de tempo decorre entre os valores de a serem correlacionados.

Para muitas funções que ocorrem na prática, é uma função par do atraso de tempo e para típicos sinais que possuem ruídos ela é uniformemente contínua com um máximo em .

A função autocorrelação, mais apropriadamente chamada de função de autocovariância a não ser que seja normalizada de alguma maneira apropriada, mensura a força da autocorrelação entre os valores de separados por um atraso no tempo. Essa é uma maneira de procurar pela autocorrelação de com o seu próprio passado. Ísso é útil para outras tarefas estatísticas além da análise dos sinais. Por exemplo, se representa a temperatura em um tempo , espera-se uma forte correlação com a temperatura com um atraso temporal de 24 horas.

Ela possui uma transformada de Fourier,

Esta transformada de Fourier é chamada de função de densidade de potência espectral de . (A não ser que todas componentes periódicas sejam primeiro filtradas de , essa integral divergirá, porém é uma tarefa simples filtrar tais periodicidades.)

A potência espectral, como indicada por essa função de densidade , mede a quantidade de variância contribuída às informações pela frequência . Em sinais elétricos, a variância é proporcional à potência media(energia por unidade de tempo), e portanto a potêncial espectral descreve o quanto a diferença de frequências contribuem para a potência média do sinal. Este processo é chamado de análise espectral temporal e é análogo à usual análise de variância de informações que não são séries temporais.

Conhecimento de quais frequências são mais "importantes" nesse sentido é crucial para o design apropriado de filtros e para a escolha apropriada de aparatos medidores. Também pode ser útil para a análise científica de fenômenos responsáveis por produzir as informações.

A potência espectral de um sinal pode também ser aproximadamente medido diretamente mensurando a potência média que resta em um sinal depois que frequências externas sejam filtradas e removidas.

Análise espectral também é uma ferramenta de sinais visuais. A potência espectral ignora todas relações de fase, o que é considerado bom para muitos propósitos, mas para sinais de vídeo outros tipos de análise espectral devem ser empregados, ainda utilizando a transformada de Fourier como ferramenta principal.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em física, física e química quântica, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, processamento de imagem, teoria das probabilidades, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sismologia, óptica, geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.

  • As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.
  • As funções de base senoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Por exemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo o comportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)
  • Conclui-se que a Transformada integral de Fourier, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência espacial.
  • Podemos utilizar o método das transformadas para buscar Soluções de equações diferenciais.
  • Podemos utilizar o método da Transformada de Fourier para analisar a resposta transitória de circuitos elétricos.

Expansão em Séries de Fourier[editar | editar código-fonte]

Como descrito, uma função pode ser representada por somas de senos e cossenos, de modo a obter uma aproximação para tal função. Essa representação é chamada de Série de Fourier, e é do tipo:

[2]

Para que esta representação seja exata, é necessário a determinação dos coeficientes da expansão: a0, ... an e b1, ... bn. Para isto, é necessário utilizar os conceitos de ortogonalidade.

ORTOGONALIDADE E O CÁLCULO DOS COEFICIENTES

Da Álgebra Linear, dois vetores são ortogonais se seu produto interno for igual a zero. Para usarmos esta propriedade, pensamos nas funções como “vetores”, e consideramos um espaço V de domínio [a,b], no qual duas funções distintas f e g, contínuas por partes, estão contidas. Estas funções terão produto interno e norma, definidos abaixo:

Produto interno:

Norma:

Vale ressaltar que a ortogonalidade de funções não tem relação com a ortogonalidade geométrica dos vetores comuns, ou seja, duas funções f e g, ortogonais, não farão, necessariamente, um ângulo de em seus gráficos.

Como a Série de Fourier é expressa em senos e cossenos fica claro que o intervalo no qual estas funções devem ser ortogonais é [0,2L] ou também [-L,L], uma vez que estes são funções 2L-periódicas,.

Pode se provar que o conjunto de funções abaixo é ortogonal:

Ou seja:

Onde o valor do produto interno, é a norma quadrática da função.

Com estes cálculos, pode-se determinar os coeficientes da Série de Fourier via fórmulas de Euler.

A partir da expansão:

Multiplicando os dois lados da equação por Φm(x):

Integrando os dois lados e usando o fato de que a integral da soma é a soma das integrais:

Pela ortogonalidade, a integral do lado direito será diferente de zero somente para m=n, e vale a norma ao quadrado.

Rearranjando os termos, obtemos:

[3]

Utilizando este resultado, obtemos as seguintes fórmulas para os coeficientes, para o intervalo [-L,L]:

FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Analisar a função a ser expandida é essencial para ganhar-se tempo ao calcular os coeficientes, visto que em alguns casos eles têm valor trivial. Podemos analisar a paridade de uma função seguindo o critério abaixo:

Seja f(x) uma função definida em R num intervalo (-a,a), f é dita par se, e somente se

Seja f(x) uma função definida em R num intervalo (-a,a), f é dita ímpar se, e somente se

Dessa forma, pode-se citar as seguintes proposições:

i) Se f e g são funções pares, então o produto de f com g será uma função par;

ii) Se f e g são funções ímpares, então o produto de f com g será uma função par;

iii) Se f é uma função par e g, ímpar, então o produto de f com g será uma função ímpar.

Por exemplo, caso f(x) seja uma função par, a multiplicação desta por um seno -que é uma função ímpar- resulta em uma função ímpar. No cálculo dos coeficientes isso será de grande ajuda pois a integral de funções ímpares será sempre zero. No caso anterior, ao expandirmos f (par) teremos os coeficientes bn nulos e os coeficientes a0 e an não nulos. Portanto, a expansão de f em séries será uma série cosseno. Ver mais em série de Fourier.

Para estes casos especiais, temos as séries de Fourier-Cosseno e Fourier-Seno, apresentadas abaixo:

A seguinte sucessão de funções seno:

são todas ortogonais em relação ao produto escalar entre funções.[4] Qualquer outra função definida no intervalo é linearmente dependente do conjunto de funções (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, qualquer função definida no dito intervalo pode ser escrita como combinação linear da sucessão :

a série anterior é designada por série seno de Fourier. Como já demonstrado, (usando a ortogonalidade entre as funções ) os coeficientes na série são iguais a:

o integral anterior chama-se transformada seno de Fourier da função.

Outra sucessão de funções ortogonais é a sucessão de funções co-seno, definida por:

Qualquer função definida no intervalo é linearmente dependente do conjunto de funções (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, uma função pode também ser escrita como uma série co-seno de Fourier:

onde os coeficientes são iguais a:

e o integral anterior designa-se transformada co-seno de Fourier da função .

Resolução de EDPs usando série de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier é útil para resolver equações de derivadas parciais, de segunda ordem, com condições fronteira.[4] Se for a variável dependente, e tivermos condições fronteira para e , começamos por definir a transformada de Fourier da seguinte forma

onde será uma das seguintes funções próprias:

e são certos valores próprios escolhidos em forma adequada.

Propriedade operacional[editar | editar código-fonte]

A transformada da segunda derivada tem a propriedade importante (propriedade operacional) de depender da transformada da função. Por definição, a transformada da segunda derivada parcial é

integrando por partes duas vezes obtemos:

a segunda derivada das funções próprias é sempre (tanto no caso do seno como no caso do co-seno) proporcional a si própria

Assim, a propriedade operacional é

Como vamos resolver uma equação de segunda ordem, são dadas apenas duas condições fronteira que permitem calcular dois dos termos dentro dos parêntesis. Podemos usar a liberdade que temos na escolha das funções e valores próprios, para eliminar os outros dois termos dentro dos parêntesis. Estudaremos as quatro possibilidades:

  • Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

O qual determina as seguintes funções e valores próprios

A transformada correspondente é a transformada seno de Fourier.

  • Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada transformada é a transformada co-seno de Fourier.

  • Os valores de e são dados. Neste

caso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada correspondente é a transformada seno modificada.

Os valores de e são dados. Neste caso será necessário arbitrar

E, portanto, as funções e valores próprios são

A transformada correspondente é a transformada co-seno modificada.

Fórmula de somatório de Poisson (PSF)[editar | editar código-fonte]

A fórmula de somatório de Poisson (PSF) é uma equação que relaciona os coeficientes da série de Fourier de uma função com valores da Transformada de Fourier (que é contínua) da mesma função.

Consequentemente, o somatório periódico de uma função é definido completamente por trechos discretos da Transformada de Fourier da função original. Inversamente, o somatório periódico da Transformada de Fourier de uma função é completamente definido por trechos discretos da função original.

O somatório de Poisson relata que, para funções suficientemente regulares ,

.

Essa expressão possui uma variedade de formas úteis encontradas na literatura, que são obtidas pela aplicação das propriedades de Mudança de Escala e Deslocamento Temporal (no eixo ). A fórmula possui aplicações em áreas como engenharia, física e teoria dos números. A representação no domínio da frequência da fórmula de somatório de Poisson é também chamada de Transformada de Fourier de tempo discreto.

A fórmula de somatório de Poisson é geralmente associada com a física em meios condicionados em regime periódico, como no caso do problema da condução de calor em um círculo. A solução fundamental da equação do calor em um círculo é chamada de função teta. Ela é usada na teoria dos números para provar as propriedades de transformação das funções teta, que são um tipo de forma modular, e é mais usualmente relacionada à teoria de formas automórficas, onde ela aparece em um dos lados da fórmula do traço de Selberg.

Transformada contínua de Fourier[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com frequência angular ω,medida em rad/s, e amplitude complexa F(ω):

Na área de processamento de sinais, utiliza-se a definição em termos de frequências ordinárias, medidas em hertz:

A relação entre as duas definições é dada por:

Existe também uma definição simétrica, como F0, e que usa a frequência angular, como F, que denotaremos F1

[5]

Ainda, se a função f(t) for uma função real, pode ser separada em sua parte cosseno e seno. Como e , podemos escrever a Série de Fourier

da maneira . Analisando a paridade das funções em , o cálculo da Transformada de Fourier fica mais simples. Esta forma também é escrita como

.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se adotarmos a convenção

e denotarmos as derivadas de F(ω) como F'(ω), F"(ω) etc., então valem as seguintes propriedades:

Exemplo: diagramas de magnitude[editar | editar código-fonte]

Seja a transformada de Fourier de um sinal e considere que o diagrama de espectro de magnitudes o da figura abaixo:

Diagrama espectro de magnitude da transformada de Fourier de uma sinal f(t)

Usando a Mudança de Escala com a > 1, temos então a expansão do gráfico no eixo w, notando que a amplitude cai proporcionalmente ao valor de a (neste caso a=2):

Diagrama de Magnitude da transformada de g(t), em que g(t) = f(2t)

E para a<1 temos então a compressão do gráfico no eixo w, com a amplitude sendo aumentada inversamente proporcional ao valor de a (neste caso a=1/2):

Diagrama de Magnitude da transformada de g(t), para g(t) = f(t/2)
Exemplo: diagramas de magnitude[editar | editar código-fonte]

Seja a transformada de Fourier de um sinal e considere que o diagrama de espectro de magnitudes o da figura abaixo:

Diagrama de Magnitude da transformada de Fourier de f(t)

Usando como exemplo uma modulação em que temos o "b" como 400, temos:

Diagrama de Magnitude de g(t). Sendo g(t) = f(t)cos(400t)

Transformada da Integral[6][editar | editar código-fonte]

,

onde é uma função integrável tal que sua transformada de Fourier satisfaça .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Definimos

,

Utilizando o teorema fundamental do cálculo temos

.

Em seguida aplicamos a transformada de Fourier na igualdade,

ou seja,

Uma vez que,

e,

Desta forma, utilizando a propriedade da transformada da derivada podemos obter,

Chegamos assim,

.

Teorema da autocorrelação[editar | editar código-fonte]

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo e o asterisco normal denota a operação de convolução. Essa propriedade é uma caso especial do Teorema da convolução e está relacionado também ao Teorema de Wiener.[7]

Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Teorema de Parseval)



onde o asterisco superior denota o conjugado complexo.[8]

Derivada da transformada[editar | editar código-fonte]

[9]

Momento de ordem n[editar | editar código-fonte]

Casos especiais:

.[10]

Valor final[editar | editar código-fonte]

.[11]

Largura equivalente[editar | editar código-fonte]

[12]

Limites superiores[editar | editar código-fonte]

[13]

Relação de incerteza[editar | editar código-fonte]

Se definirmos as quantidades



podemos escrever


[14]

Inversão temporal[6][editar | editar código-fonte]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Mudando a variável

Transformada discreta de Fourier[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Transformada Discreta de Fourier)

Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

.

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n2) necessários para o mesmo cálculo.

Algumas transformadas de Fourier[15][16][editar | editar código-fonte]

Nesta tabela, é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função retangular, sinc(t) é a função sinc = e tri(t) é a função triangular.

Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier

Transformada de Fourier de Funções Especiais[17][editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente para que uma função possua uma transformada de Fourier é a seguinte:

Geometricamente a condição impõe que a área abaixo da curva de deve ser finita.

Essa condição não é uma restrição e sim uma garantia de que, caso satisfeita, há uma transformada de Fourier correspondente para tal função. No entanto, existem muitas outras funções que, apesar de não satisfazerem tal condição, também possuem transformada de Fourier. Algumas funções que pertencem a essa categoria especial são apresentadas a seguir.

Transformada de Fourier da Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A transformada da função delta de Dirac é dada por:

.

Pela propriedade da filtragem:

.

Logo a transformada da função delta de Dirac é dada por:

No caso especial em que a = 0 temos:

.

Logo:

Transformada de Fourier de uma Função Periódica[editar | editar código-fonte]

Uma função periódica pode ser representada em série de Fourier complexa da seguinte forma:

onde e

Aplicando a transformada de Fourier na igualdade obtemos:

A transformada de Fourier dada por é uma integral com respeito a uma variável, t nesse caso, e sendo a integral uma operação linear podemos tomar a transformada somente em relação aos termos que envolvem t:

Para calcular partimos da expressão deduzida na seção referente a transformada da função delta de Dirac:

Aplicamos a transformada inversa:

Trocando t por -t:

(Observe que a troca de por é neutralizada pela inversão dos limites de integração de pra e vice-versa)

Agora, permutando t e w:

Fica evidente que:

Devido a paridade da função delta de Dirac:

Temos que:

No entanto, pela propriedade do deslocamento no eixo de frequência, temos:

Finalmente, a transformada de Fourier de uma função periódica é dada por:

O resultado demonstra que transformada de Fourier de qualquer função periódica é uma sequência de impulsos equidistantes.

Simetria e paridade[editar | editar código-fonte]

O par de funções f(x) e F(ω) exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se f(x) for uma função par, F(ω) também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se f(x) for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [0, ∞] em lugar de [-∞, ∞], dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.

Tabela 2 - Simetria dos pares de transformadas de Fourier[18]
Par Par
Ímpar Ímpar
Real e par Real e par
Real e ímpar Imaginária e ímpar
Imaginária e par Imaginária e par
Complexa e par Complexa e par
Complexa e ímpar Complexa e ímpar
Real e assimétrica Hermitiana[nota 1]
Imaginária e assimétrica Anti-hermitiana[nota 2]
Hermitiana[nota 1] Real
Anti-hermitiana[nota 2] Imaginária

Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f(x), denotado por f*(x), que só tem significado quando x é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f(x) por F(ω), a transformada de f*(x) será denotada por F*(-ω), ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω do conjugado de F(ω). Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.

Tabela 3 - Relação dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[19]
Real
Imaginária
Par
Ímpar

A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.

Tabela 4 - Propriedades dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[20]
onde:
  • é a parte imaginária de g(x)
  • é a parte real de g(x)

Utilização de transformada de Laplace para calcular transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

Podemos utilizar uma tabela de pares de transformadas de Laplace, do tipo unilaterais, para determinar a Transformada de Fourier de funções para as quais a integral de Fourier converge. A integral de Fourier converge quando todos os polos de F(s) encontram-se na metade esquerda do plano s.

Se F(s) tiver polos ao longo do eixo imaginário ou na metade direita do plano s, f(t) não satisfaz a restrição de que F(s) de que existe.

As regras que seguem se aplicam ao uso de transformadas de Laplace para calcular as transformadas de Fourier nos casos possíveis.

  • Caso f(t) seja zero para t ≤ 0, obtemos a transformada de Fourier de f(t) pela transformada de Laplace de f(t) com a substituição de s por jω. Desta forma,

s = jω.

Por exemplo, digamos que

, t≤0-; , t≥0+.

Então

, pois s = jω

  • Como o intervalo de integração da integral para a transformada de Fourier está entre e , há a transformada de Fourier de uma função definida para valores negativos do tempo.

Essa função de tempo negativo não é nula para valores negativos de tempo e vale zero para valores positivos de tempo. Para determinar a transformada de Fourier dessa função, fazemos o que segue: primeiramente, espelhamos a função de tempo negativo para o domínio positivo do tempo e, então, determinamos sua transformada unilateral de Laplace. Obtemos a transformada de Fourier da função original trocando s por -jω. Desta forma, quando f(t) = 0 para t ≥ 0-,

s = -jω.

Por exemplo, caso

, t ≥0+;

, t ≤ 0-.

então

, t ≤ 0-;

, t ≥ 0+.

A transformada de Fourier de f(t) é a seguinte:

, pois s = -jω.

  • Funções que não são nulas em todo o intervalo de tempo podem ser transformadas numa soma de funções de tempo negativo e positivo. A transformada de Fourier da função original é a soma das duas transformadas. Assim, caso fizermos

f+(t) = f(t) , para t>0,

f-(t) = f(t) , para t<0,

então

f(t) = f+(t) + f-(t)

e

com s = jω na primeira e s = -jω na segunda parcela da soma.

Utilização de limites matemáticos para calcular transformadas de Fourier[editar | editar código-fonte]

Para mostar a utilização de limites matemáticos para calcular transformadas de Fourier, tomaremos como exemplo a transformada de Fourier da função sinal. A função sinal (sgn(t)) é definida como -1 para t > 0 e +1 para t > 0, podendo ser expressa em termos de funções degrau unitário, ou

sgn(t) = u(t) - u(-t).

O gráfico para a função sinal é mostrado abaixo:

Gráfico da função sinal no tempo.

Para determinar a transformada de Fourier da função sinal, primeiramente, criamos uma função que, no limite, tende à função sinal:

A função entre colchetes, na função acima, tem uma transformada de Fourier, já que a integral de Fourier converge. Visto que f(t) é uma função ímpar, usamos a equação , com s = jω na primeira e s = -jω na segunda parcela da soma, para determinar sua transformada de Fourier, como segue abaixo:

Quando → 0, f(t)sgn(t) e . Deste modo,

.

Aplicação da Transformada de Fourier em problemas[editar | editar código-fonte]

Utilização da transformada de Fourier para determinar a resposta em regime transitório de circuitos elétricos[editar | editar código-fonte]

Utilizaremos a transformada de Fourier para determinar io(t) no circuito abaixo, sabendo que ig(t) vale 20 sgn(t) amperes.

Circuito exemplo - Transformada de Fourier para análise de circuitos elétricos.jpg

Primeiramente, calcula-se a transformada de Fourier da fonte de corrente:


A função de transferência do circuito é a razão entre Io e Ig, desta maneira:

A transformada de Fourier de io(t) é a seguinte: H(ω) = Ig(ω)H(ω)

Ao expandir Io(ω) em uma soma de frações parciais, temos:

Analisando C1 e C2, obtemos:

Portanto,

Logo, a resposta para Io(t) é:

Vale observar que uma característica importante da transformada de Fourier é que ela fornece, de maneira direta, a resposta de regime permanente do circuito quando a entrada é do tipo senoidal.

Equação do Calor[editar | editar código-fonte]

Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinita, dado pela equação de calor

Tomando a transformada de Fourier desse problema na variável x, obtemos

onde se usou a propriedade 2 da transformada da derivada.

Denotando , podemos escrever o problema de uma forma mais limpa:

Essa é uma equação que pode ser resolvida por várias métodos, entre eles separação de variáveis:

onde é uma constante de integração que é calculada om a condição inicial:

Logo,

Agora, precisamos calcular a transformada inversa de para obter a solução do problema original.

Temos que

Usando a propriedade de mudança de escala com temos

ou seja,

Aplicando esse resultado juntamente com o teorema da convolução na equação, obtemos

Equação do calor com termo fonte[editar | editar código-fonte]

A difusão de temperatura numa barra infinita com um termo fonte é dada por:

Fazendo a transformada de Fourier em x temos:

Denotando , temos:

Esta equação diferencial é resolvida por fator integrante:

Fazendo a transformada inversa, temos:

Pelo teorema da convolução, temos:

Utilização da transformada de Fourier para obter a equação da difusão do sal em uma tubulação longa[editar | editar código-fonte]

Considere o fenômeno de difusão de sal ao longo de um cano longo e fino. Supondo que uma quantidade de sal foi introduzida no ponto , temos as seguintes equações:

Tubulação com uma certa quantidade de sal introduzida no ponto x0.

, com e

Onde:

concentração de sal

variável espacial

variável temporal

Coeficente de Difusão

quantidade de sal

área da seção transversal

Solução: Aplica-se a transformada de Fourier:

e temos:

, onde usou-se as propriedades da linearidade, transformada da derivada (com ) e a propriedade da filtragem de Fourier.

Para facilitar o cálculo colocaremos e teremos:

Resolvemos a primeira equação (Equação diferencial ordinária) no tempo t:

e temos:

, onde

Como e ,

Agora calculamos a solução aplicando a transformada inversa de Fourier:

lembrando que a transformada de Fourier depende de e somente

Obs.: para seguirmos para o próximo passo é interessante lembrar que onde

Assim temos:

Portanto:

Equação da Onda[editar | editar código-fonte]

Considere a equação da onda dada por

Usando a notação

e tomando a transformada de Fourier da equação, temos

A solução dese problema é dada em termos de senos e cossenos:

Impondo as condições de contorno, temos:

ou seja, e . Portando,

ou

Tomando a transformada de Fourier inversa obtemos

mas

,

e

Segue-se que

.[21]

Vibrações livres transversais[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinita governada por

Aplicando a transformada de Fourier e tomando a notação , obtemos:

tendo a solução

Tomando a transformada inversa de Fourier, obtemos:

Usando o fato que

e

trocamos por para obter:

Tomando as partes real e imaginária nesta equação, obtemos que:

e

Utilizando o resultado sobre convoluções, obtemos que:

e