Transformada de Fourier

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A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,[1] é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da transformada Z.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em física, física e química quântica, teoria dos números, análise combinatória, processamento de sinal, processamento de imagem, teoria das probabilidades, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sismologia, óptica, geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.

  • As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.
  • As funções de base senoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Por exemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo o comportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)
  • Conclui-se que a Transformada integral de Fourier, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência espacial.
  • Podemos utilizar o método das transformadas para buscar Soluções de equações diferenciais.
  • Podemos utilizar o método da Transformada de Fourier para analisar a resposta transitória de circuitos elétricos.

Expansão em Séries de Fourier[editar | editar código-fonte]

Como descrito, uma função pode ser representada por somas de senos e cossenos, de modo a obter uma aproximação para tal função. Essa representação é chamada de Série de Fourier, e é do tipo:


f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigg( a_n \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg) + b_n \sen\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\bigg)
[2]

Para que esta representação seja exata, é necessário a determinação dos coeficientes da expansão: a0, ... an e b1, ... bn. Para isto, é necessário utilizar os conceitos de Ortogonalidade.

ORTOGONALIDADE E O CÁLCULO DOS COEFICIENTES

Da Álgebra Linear, dois vetores são ortogonais se seu produto interno for igual a zero. Para usarmos esta propriedade, pensamos nas funções como “vetores”, e consideramos um espaço V de domínio [a,b], no qual duas funções distintas f e g, contínuas por partes, estão contidas. Estas funções terão produto interno e norma, definidos abaixo:

Produto interno: 
\langle f(x), g(x) \rangle =\int_a^b f(x) g(x) d x

Norma: 
||f(x)|| = \langle f(x), g(x) \rangle^{\frac{1}{2}} =\bigg(\int_a^b f(x) g(x) d x\bigg)^{\frac{1}{2}}

Vale ressaltar que a ortogonalidade de funções não tem relação com a ortogonalidade geométrica dos vetores comuns, ou seja, duas funções f e g, ortogonais, não farão, necessariamente, um ângulo de 
\frac{\pi}{2}
em seus gráficos.

Como a Série de Fourier usa senos e cossenos, e estes são 2L-periódicas, fica claro que o intervalo no qual estas funções devem ser ortogonais é [0,2L], ou também [-L,L].

Pode se provar que o conjunto de funções abaixo é ortogonal:


\frac{1}{2},\sin\bigg(\frac{\pi}{L} x\bigg), \sin\bigg(\frac{2\pi}{L} x\bigg),\sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg),...\cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg),\cos\bigg(\frac{2\pi}{L} x\bigg),\cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg),...

Ou seja:


\langle \frac{1}{2}, \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\rangle = 0


\langle \frac{1}{2}, \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\rangle = 0


\langle \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg), \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\rangle = 0


\langle \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg), \cos\bigg(\frac{m\pi}{L} x\bigg)\rangle = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    0, & n \neq m\\ \frac{L}{2}, & n = m
  \end{array}


\langle \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg), \sin\bigg(\frac{m\pi}{L} x\bigg)\rangle = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    0, & n \neq m\\ \frac{L}{2}, & n = m
  \end{array}

Onde o valor do produto interno, 
\frac{L}{2}
é a norma quadrática da função.

Com estes cálculos, pode-se determinar os coeficientes da Série de Fourier via fórmulas de Euler.

A partir da expansão:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty k_n  \phi_n(x)

Multiplicando os dois lados da equação por Φm(x):


f(x)\phi_m(x) = \sum_{n=0}^\infty k_n  \phi_n(x) \phi_m(x)

Integrando os dois lados e usando o fato de que a integral da soma é a soma das integrais:


\int_a^b f(x)\phi_m(x)dx = \sum_{n=0}^\infty k_n  \int_a^b\phi_n(x) \phi_m(x) dx

Pela ortogonalidade, a integral do lado direito será diferente de zero somente para m=n, e vale a norma ao quadrado.

Rearranjando os termos, obtemos:


k_n = \frac{\int_a^b f(x)\phi_m(x)dx}{ \int_a^b\phi_m(x) \phi_m(x) dx} = \frac{\langle f(x),\phi_m(x) \rangle}{{ ||\phi_m(x)||^2}}
[3]

Utilizando este resultado, obtemos as seguintes fórmulas para os coeficientes, para o intervalo [-L,L]:


a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)dx


a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi}{L}x dx


b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi}{L}x dx

FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Outro fator que deve ser ressaltado quanto a expansão, para ganhar-se tempo no cálculo dos coeficientes, é a análise da função a ser expandida. Caso f(x) seja uma função par, a multiplicação desta por um seno resulta em uma função ímpar. Como a integral de [-L,L] é zero para funções ímpares, o coeficiente bn será igual a zero, restando somente a0 e an. O mesmo vale para f(x) ímpar. A multiplicação desta função por uma função par resulta em uma ímpar, logo, a0 e an serão nulos.

Para estes casos especiais, temos as séries de Fourier-Cosseno e Fourier-Seno, apresentadas abaixo:

A seguinte sucessão de funções seno:


  \Bigg\{S_n(x) = \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\Bigg\}

são todas ortogonais em relação ao produto escalar entre funções. [4] Qualquer outra função definida no intervalo 0 < x < L é linearmente dependente do conjunto de funções S_n (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, qualquer função f(x) definida no dito intervalo pode ser escrita como combinação linear da sucessão \{S_n\}:


  f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)

a série anterior é designada por série seno de Fourier. Como já demonstrado, (usando a ortogonalidade entre as funções S_n) os coeficientes b_n na série são iguais a:


  b_n = \frac{2}{L}\langle f, S_n\rangle
  = \frac{2}{L}\int_0^L f(x) \sin\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg) d x

o integral anterior chama-se transformada seno de Fourier da funçãof(x).

Outra sucessão de funções ortogonais é a sucessão de funções co-seno, definida por:


  \Bigg\{C_n(x) = \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)\Bigg\}

Qualquer função definida no intervalo 0 < x < L é linearmente dependente do conjunto de funções C_n (com algumas excepções que discutiremos mais logo); assim, uma função f(x) pode também ser escrita como uma série co-seno de Fourier:


  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg)

onde os coeficientes a_n são iguais a:


  a_n = \frac{2}{L}\langle f, C_n\rangle
  = \frac{2}{L}\int_0^L f(x) \cos\bigg(\frac{n\pi}{L} x\bigg) d x

e o integral anterior designa-se transformada co-seno de Fourier da função f(x).

Resolução de EDPs usando transformadas de Fourier[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier é útil para resolver equações de derivadas parciais, de segunda ordem, com condições fronteira. [4] Se v(x,y) for a variável dependente, e tivermos condições fronteira para x = 0 e x = L, começamos por definir a transformada de Fourier da seguinte forma


  \overline{v}_n(y) = \frac{2}{L} \langle v(x,y), \phi_n(x)\rangle

onde \phi_n será uma das seguintes funções próprias:


  \phi_n(x) = \Bigg\{
  \begin{array}{l}
    \sin(\lambda_n x) \\ \cos(\lambda_n x)
  \end{array}

e \lambda_n são certos valores próprios escolhidos em forma adequada.

Propriedade operacional[editar | editar código-fonte]

A transformada da segunda derivada tem a propriedade importante (propriedade operacional) de depender da transformada da função. Por definição, a transformada da segunda derivada parcial é


  \Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}} \Bigg)_n = \frac{2}{L} \langle \phi_n,
  {\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\rangle

integrando por partes duas vezes obtemos:


\begin{align}
  \Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\Bigg)_n &= \frac{2}{L} \int_0^L \phi_n
  {\partial^2{v}\over {x^2}} d x \\
  &= \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}} \phi_n\Bigg|_0^L - \int_0^L \phi_n'
  {\partial{v} \over \partial{x}} d x\Bigg) \\
  &= \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}} \phi_n - v \phi_n'\Bigg)_0^L +
  \frac{2}{L} \int_0^L \phi_n' v d x
\end{align}

a segunda derivada das funções próprias é sempre (tanto no caso do seno como no caso do co-seno) proporcional a si própria


  \phi_n'' = -\lambda_n^2 \phi_n

Assim, a propriedade operacional é


\Bigg(\overline{\partial^2{v} \over \partial{x^2}}\Bigg)_n = \frac{2}{L}\Bigg({\partial{v} \over \partial{x}}(L) \phi_n(L) - v(L) \phi_n'(L) - {\partial{v} \over \partial{x}}(0) \phi_n(0) + v(0) \phi_n'(0) \Bigg) - \lambda_n^2 \overline{v}_n

Como vamos resolver uma equação de segunda ordem, são dadas apenas duas condições fronteira que permitem calcular dois dos termos dentro dos parêntesis. Podemos usar a liberdade que temos na escolha das funções e valores próprios, para eliminar os outros dois termos dentro dos parêntesis. Estudaremos as quatro possibilidades:

  • Os valores de v(0,y) e v(L,y) são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n(0) = \phi_n(L) = 0

O qual determina as seguintes funções e valores próprios


    \phi_n(x) = \sin(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \frac{n \pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada seno de Fourier.

  • Os valores de \partial v(0,y)/\partial x e \partial v(L,y)/\partial x são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n'(0) = \phi_n'(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \cos(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \frac{n \pi}{L}

A transformada transformada é a transformada co-seno de Fourier.

  • Os valores de v(0,y) e \partial v(L,y)/\partial x são dados. Neste

caso será necessário arbitrar


    \phi_n(0) = \phi_n'(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \sin(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \bigg(n + \frac{1}{2}
    \bigg)\frac{\pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada seno modificada.

Os valores de \partial v(0,y)/\partial x e v(L,y) são dados. Neste caso será necessário arbitrar


    \phi_n'(0) = \phi_n(L) = 0

E, portanto, as funções e valores próprios são


    \phi_n(x) = \cos(\lambda_n x) \qquad \lambda_n = \bigg(n + \frac{1}{2}
    \bigg)\frac{\pi}{L}

A transformada correspondente é a transformada co-seno modificada.

Transformada contínua de Fourier[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com frequência angular ω,medida em rad/s, e amplitude complexa F(ω):

 \mathcal{F}(\omega) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\omega))
 =  \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

Na área de processamento de sinais, utiliza-se a definição em termos de frequências ordinárias, medidas em hertz:

 \mathcal{F}_0(f) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi ift}\,dt

f(t) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}_0(f) e^{2\pi ift}\,df.

A relação entre as duas definições é dada por:

\mathcal{F}_0(f) =  \mathcal{F}(2\pi f)

Existe também uma definição simétrica, como F0, e que usa a frequência angular, como F, que denotaremos F1

 \mathcal{F}_1(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt

f(t) = \mathcal{F}_1^{-1}(\mathcal{F}_1(\omega))
 =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.[5]

Ainda, se a função f(t) for uma função real,  \mathcal{F}(\omega) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\,dt pode ser separada em sua parte cosseno e seno. Como  cos (\omega t) = \frac{e^{i \omega t} + e^{-i \omega t}}{2} e  \sin(\omega t) = \frac{e^{i \omega t} - e^{-i \omega t}}{2} , podemos escrever a Série de Fourier

da maneira  \mathcal{F}(\omega) =  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t)\,dt -  i\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t)\,dt  . Analisando a paridade das funções em  \omega  , o cálculo da Transformada de Fourier fica mais simples. Esta forma também é escrita como

 \mathcal{F}(\omega) =  A(\omega) - i B(\omega) .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se adotarmos a convenção

F(\omega) \;=\; \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\}

e denotarmos as derivadas de F(ω) como F'(ω), F"(ω) etc., então valem as seguintes propriedades:

Linearidade[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t) \right\} \;=\; a \cdot \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \;+\; b \cdot \mathcal{F} \left\{ g(t) \right\} \qquad a,b \in \mathbb{C}[6]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demostrar, aplicamos a definição de transformada de Fourier em:

\mathcal{F} \left\{ a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t) \right\}

Com isso, temos:

=  \int_{-\infty}^{\infty} ( a \cdot f(t) \;+\; b \cdot g (t)) e^{-iwt} dt

Pela propriedade da linearidade da própria integral, podemos separar isto em duas integrais:

=  \int_{-\infty}^{\infty} a \cdot f(t)  e^{-iwt} dt +  \int_{-\infty}^{\infty} b \cdot g (t) e^{-iwt} dt

E temos ainda, novamente por propriedades da integral, que podemos colocar constantes para fora das integrais, de forma que então temos:

= a  \int_{-\infty}^{\infty} f(t)  e^{-iwt} dt +  b \int_{-\infty}^{\infty} g (t) e^{-iwt} dt

E por fim, sabendo a definição da transformada de Fourier podemos verificar que temos:

=\; a \cdot \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \;+\; b \cdot \mathcal{F} \left\{ g(t) \right\} \qquad a,b \in \mathbb{C}

Similaridade ou Mudança de Escala[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} \;=\; \frac{1}{|a|} \cdot F \left( \frac{\omega}{a} \right)  \qquad a \in \mathbb{C}[7]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Aplicando a transformada temos:

\mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} =  \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{-iwt} dt

Fazendo a mudança de variável de  \tau  

= at

Para a > 0 temos o seguinte:

 =  \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d \bigg(\frac{\tau}{a}\bigg)

  =  \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau

Para a < 0 temos o seguinte:

 =  \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d \bigg(\frac{\tau}{a}\bigg)

  =  -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau

Portanto é possível chegar a conclusão que temos de fato:

  \mathcal{F} \left\{ f(at) \right\} \; = {\frac{1}{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^\frac{-iw\tau}{a} d\tau

E isto é exatamente:

=\; \frac{1}{|a|} \cdot F \left( \frac{\omega}{a} \right)

Diagramas de Magnitude[editar | editar código-fonte]

Em Diagramas de Magnitude podemos verificar o seguinte:

Diagrama de Magnitude da transformada de Fourier de f(t)

Usando a Mudança de Escala com a > 1, temos então a expansão do gráfico no eixo w, notando que a amplitude cai proporcionalmente ao valor de a (neste caso a=2):

Diagrama de Magnitude da transformada de g(t), em que g(t) = f(2t)

E para a<1 temos então a compressão do gráfico no eixo w, com a amplitude sendo aumentada inversamente proporcional ao valor de a (neste caso a=1/2):

Diagrama de Magnitude da transformada de g(t), para g(t) = f(t/2)

Deslocamento[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t \;-\; a) \right\} \;=\; e^{- i a \omega} \cdot \mathcal{F}\left\{ f(t) \right\} \qquad a \in \mathbb{C}[8]


\mathcal{F} \left\{ e^{i a t} \cdot f(t) \right\} \;=\; F(\omega - a) \qquad a \in \mathbb{C}[9]

Modulação por Cosseno[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \cos(bt) \right\} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;+\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}[10]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \cos(bt) \right\} \; = \mathcal{F} \bigg\{ f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}2\bigg)\bigg\}

Aplicando a transformada, tem-se

= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \bigg( \frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}2\bigg) e^{-i{\omega}t}  dt

= \frac{1}2 \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega - b)t} dt + \frac{1}2 \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega + b)t} dt

Sabendo a definição de Transformada de Fourier chegamos a conclusão que:

 = \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;+\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}

Diagramas de Magnitude[editar | editar código-fonte]

Resultado de Diagrama de Magnitude da transformada:

Diagrama de Magnitude da transformada de Fourier de f(t)

Usando como exemplo uma modulação em que temos o "b" como 400, temos:

Diagrama de Magnitude de g(t). Sendo g(t) = f(t)cos(400t)

Modulação por Seno[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \sen(bt) \right\} \;=\; \frac{1}{2i} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;-\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}[10]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \; \sen(bt) \right\} \; = \mathcal{F} \bigg\{ f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} - e^{-ibt}}{2i}\bigg)\bigg\}

Aplicando a transformada, tem-se:

= \int_{-\infty}^{\infty}  f(t) \bigg(\frac{e^{ibt} - e^{-ibt}}{2i}\bigg) e^{-i{\omega}t}  dt

= \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega - b)t} dt - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega + b)t}dt

Sabendo a definição de Transformada de Fourier chegamos a conclusão que:

 =\; \frac{1}{2i} \left[ \frac{}{} F(\omega - b) \;-\; F(\omega + b) \right] \qquad b \in \mathbb{C}

Transformada da derivada[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ \frac{d}{dt} \; f(t) \right\} \;=\; i \omega \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} [11]

Essa propriedade é também conhecida como propriedade operacional. Uma expressão mais geral é

\mathcal{F} \left\{ \frac{d ^ q}{dt ^q} \; f(t) \right\} \;=\; (i \omega \;) ^q \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \} \qquad q \in \mathbf{R}

onde \frac{d ^ q}{dt ^q} indica uma derivada fracionária[12] .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para a demostração, podemos utilizar o conhecimento da Transformada Inversa de Fourier.

Sabendo que para uma função f(t), podemos representa-la por:

f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{i\omega t}dw

Portanto, aplicando a derivada em t, temos:

f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)  {d{e^{i\omega t}}\over{dt}} dw

O que resulta em:

f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)  \omega i e^{i\omega t} dw

Que ajeitado de forma a evidenciar a propriedade fica:

f'(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} [i\omega F(\omega) ] e^{i\omega t} dw

E sabendo novamente a definição da Transformada Inversa de Fourier, podemos notar que de fato o que temos é:

\mathcal{F} \left\{ f'(t) \right\} \;=\; i \omega \cdot \mathcal{F} \{ f(t) \}

Convolução[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Teorema da convolução)

\mathcal{F} \left\{ f(t) * g(t) \right\} \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{F} \{ g(t) \}

\frac{d}{dt} \left[ f(t) * g(t) \right] \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ g(t) \} \;=\; \mathcal{F} \{ g(t) \} \cdot \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \{ f(t) \}

onde o asterisco denota a operação de convolução[13] .

Teorema da autocorrelação[editar | editar código-fonte]

\mathcal{F} \left\{ f(t) \;*\; f^*(-t) \right\} \;=\; \left| \mathcal{F} \{ f(t) \} \right| ^2

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo e o asterisco normal denota a operação de convolução. Essa propriedade é uma caso especial do Teorema da convolução e está relacionado também ao Teorema de Wiener[14] .

Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Teorema de Parseval)


\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} f(t) \right| ^2 dt \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} \mathcal{F} \{ f(t) \} \right| ^2 d \omega


\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot g^*(t) \; dt \;=\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{}{} \mathcal{F} \{ f(t) \} \right) \cdot \left( \frac{}{} \mathcal{F} \{ g(t) \} \right) ^* d \omega

onde o asterisco superior denota o conjugado complexo[15] .

Derivada da transformada[editar | editar código-fonte]

\frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \left\{ \; f(t) \right\} \;=\; - \; i \; \mathcal{F} \left\{ t \cdot f(t) \right\}[9]

Momento de ordem n[editar | editar código-fonte]

\int_{-\infty}^{\infty} t^n \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d^n}{d \omega^n} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; i^n \; F^n(0) \qquad n \in \mathbf{N}

Casos especiais:

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; F(0)

\int_{-\infty}^{\infty} t \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d}{d \omega} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; i \; F'(0)

\int_{-\infty}^{\infty} t^2 \; f(t) \; dt \;=\; \left. \left( \frac{d^2}{d \omega^2} \mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \right) \right|_{\omega = 0} \;=\; - \; F''(0)[16] .

Valor final[editar | editar código-fonte]

\lim_{\omega \to \infty} \left| \frac{}{} \omega \frac{}{} \right| ^n \cdot F(\omega) \;=\; 0 \qquad n \in \mathbf{Z}[17] .

Largura equivalente[editar | editar código-fonte]

\left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \; dt \right] \cdot \left[ \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \; d \omega \right] \;=\; f(0) \cdot F(0)[18]

Limites superiores[editar | editar código-fonte]

\left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \;\le\; \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega

\left| \frac{d}{dt} f(t) \right| \;\le\; \int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} \omega \cdot F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega[19]

Relação de incerteza[editar | editar código-fonte]

Se definirmos as quantidades


\Delta t \;=\; \frac{ \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \cdot \left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \; dt} {\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} f(t) \frac{}{} \right| \; dt} \qquad e \qquad \Delta \omega \;=\; \frac{ \int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 \cdot \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega} {\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{}{} F(\omega) \frac{}{} \right| \; d \omega}


podemos escrever


\Delta t \cdot \Delta \omega \;\le\; \frac{1}{2}[20]

Transformada discreta de Fourier[editar | editar código-fonte]

(ver artigo principal Transformada Discreta de Fourier)

Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores  x_k discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

x_k = \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{\frac{2\pi i}{n} j k} \quad \quad k = 0,\dots,n-1.

f_j = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-\frac{2 \pi i}{n} j k} \quad \quad j = 0, \dots, n-1

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n2) necessários para o mesmo cálculo.

Algumas transformadas de Fourier [21] [22] [editar | editar código-fonte]

Nesta tabela, \delta(t)\, é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função retangular, sinc(t) é a função sinc = \frac {\sin \pi t} {\pi t} e tri(t) é a função triangular.

Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier
f(t) F(\omega)
\delta(t)\,\! 1\,\!
\delta(t-a)\,\! e^{-ia\omega}\,\!
u(t)\,\! \pi\delta(\omega)+\frac {1}{i\omega}\,\!
1\,\! 2\pi\delta(\omega)\,\!
\operatorname{sgn}(t)\,\! \frac {2}{i\omega}\,\!
e^{i\omega_0t}\,\! 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\,\!
\cos \omega_0t\,\! \pi(\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0))\,\!
\sin \omega_0t\,\! \frac {\pi}{i}(\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0))\,\!
\operatorname{rect} \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{sinc} \left( a \frac{\omega}{2 \pi} \right) \;=\; \frac{2}{\omega} \operatorname{sin} \left( \frac{\omega}{a} \right) \,\!
\cos(\omega_0t)u(t)\,\! \frac {\pi}{2} (\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {i\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!
\sin(\omega_0t)u(t)\,\! \frac {\pi}{2i} (\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {\omega ^2}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!
\operatorname{rect}(t/a)\cos(\omega_0t)\,\! a \left ( \operatorname{sinc}\frac {(\omega-\omega_0)a}{2\pi} + \operatorname{sinc}\frac {(\omega+\omega_0)a}{2\pi} \right )\,\!
\operatorname{sinc} \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!
\operatorname{sinc}^2 \left( \frac{t}{a} \right)\,\! |a| \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)\,\!
e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {1}{a+i\omega}\,\!
t^n\,\! 2 \pi i^n \delta^n(\omega)\,\!
t^{n-1}e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {(n-1)!}{(a+i\omega)^n}\,\!
e^{-a|t|}, \operatorname{Re}(a) > 0\,\! \frac {2a}{a^2 + \omega^2}\,\!
e^{-\pi t^2}\,\! e^{-\frac{\omega^2}{4\pi}}\,\!
\frac {1}{\sqrt{|t|}}\,\! \sqrt{\frac {2\pi}{|\omega|}}\,\!
\frac {1}{t^2+a^2}\,\! \frac {\pi}{a}e^{-a|\omega|}\,\!
\operatorname{tri}(t)\,\! \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2 \pi} \right) \,\!

Transformada de Fourier de Funções Especiais[23] [editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente para que uma função possua uma transformada de Fourier é a seguinte:

\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty

Geometricamente a condição impõe que a área abaixo da curva de |f(t)| deve ser finita.

Essa condição não é uma restrição e sim uma garantia de que, caso satisfeita, há uma transformada de Fourier correspondente para tal função. No entanto, existem muitas outras funções que, apesar de não satisfazerem tal condição, também possuem transformada de Fourier. Algumas funções que pertencem a essa categoria especial são apresentadas a seguir.

Transformada de Fourier da Função Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A transformada da função delta de Dirac é dada por:

\mathcal{F}\{\delta(t - a)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - a)e^{-i\omega t}dt.

Pela propriedade da filtragem:

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - a)e^{-i\omega t}dt = e^{-i\omega a}.

Logo a transformada da função delta de Dirac é dada por:

\mathcal{F}\{\delta(t - a)\} = e^{-i\omega a}

No caso especial em que a = 0 temos:

\mathcal{F}\{\delta(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}dt = e^{-i\omega 0}.

Logo:

\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1

Transformada de Fourier de uma Função Periódica[editar | editar código-fonte]

Uma função periódica pode ser representada em série de Fourier complexa da seguinte forma:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{i\omega_{n}t} onde C_{n} = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\omega_{n}t}dt e \omega_{n} = \frac{2\pi n}{T}

Aplicando a transformada de Fourier na igualdade obtemos:

\mathcal{F}\{f(t)\} = \mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{i\omega_{n}t}\right\}

A transformada de Fourier dada por \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt é uma integral com respeito a uma variável, t nesse caso, e sendo a integral uma operação linear podemos tomar a transformada somente em relação aos termos que envolvem t:

\mathcal{F}\{f(t)\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}\mathcal{F}\left\{e^{i\omega_{n} t}\right\}

Para calcular \mathcal{F}\left\{e^{i\omega_{n} t}\right\} partimos da expressão deduzida na seção referente a transformada da função delta de Dirac:

\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1

Aplicamos a transformada inversa:

\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{\delta(t)\}\} = \mathcal{F}^{-1}\{1\}

\delta(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}1e^{i\omega t}dt

Trocando t por -t:

\delta(-t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}1e^{-i\omega t}dt

(Observe que a troca de dt por d(-t) é neutralizada pela inversão dos limites de integração de -\infty pra +\infty e vice-versa)

Agora, permutando t e w:

2\pi\delta(-w) = \int_{-\infty}^{\infty}1e^{-i\omega t}dw

Fica evidente que:

2\pi\delta(-w) = \mathcal{F}\{1\}

Devido a paridade da função delta de Dirac:

2\pi \delta(-\omega) = 2\pi \delta(\omega)

Temos que:

\mathcal{F}\{1\} = 2\pi \delta(\omega)

No entanto, pela propriedade do deslocamento no eixo de frequência, temos:

\mathcal{F}\{1e^{i\omega_{n}t}\} = \mathcal{F}\{e^{i\omega_{n}t}\} = 2\pi \delta(\omega - \omega_{n})

Finalmente, a transformada de Fourier de uma função periódica é dada por:

\mathcal{F}\{f(t)\} = 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}\delta(\omega - \omega_{n})

O resultado demonstra que transformada de Fourier de qualquer função periódica é uma sequência de impulsos equidistantes.

Simetria e paridade[editar | editar código-fonte]

O par de funções f(x) e F(ω) exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se f(x) for uma função par, F(ω) também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se f(x) for par, o intervalo de integração pode ser alterado para [0, ∞] em lugar de [-∞, ∞], dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.

Tabela 2 - Simetria dos pares de transformadas de Fourier[24]
f(x) F(\omega)
Par Par
Ímpar Ímpar
Real e par Real e par
Real e ímpar Imaginária e ímpar
Imaginária e par Imaginária e par
Complexa e par Complexa e par
Complexa e ímpar Complexa e ímpar
Real e assimétrica Hermitiana[nota 1]
Imaginária e assimétrica Anti-hermitiana[nota 2]
Hermitiana[nota 1] Real
Anti-hermitiana[nota 2] Imaginária

Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de f(x), denotado por f*(x), que só tem significado quando x é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de f(x) por F(ω), a transformada de f*(x) será denotada por F*(-ω), ou seja, a reflexão com relação ao eixo ω do conjugado de F(ω). Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.

Tabela 3 - Relação dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[25]
f(x) F^*(-\omega)
Real F(\omega)
Imaginária -F(\omega)
Par F*(\omega)
Ímpar -F*(\omega)

A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.

Tabela 4 - Propriedades dos conjugados dos pares de transformadas de Fourier[26]
f(x) F(\omega)
f(x) F(\omega)
f*(x) F*(-\omega)
f*(-x) F*(\omega)
f(-x) F(-\omega)
\mathcal{R} [f(x)] \frac{F(\omega) \;+\; F*(-\omega)}{2}
\mathcal{I} [f(x)] \frac{F(\omega) \;-\; F*(-\omega)}{2}
f(x) \;+\; f*(-x) 2 \cdot \Re [F(\omega)]
f(x) \;-\; f*(-x) 2 \cdot \Im [F(\omega)]
onde:
  •  \Im [g(x)] \; é a parte imaginária de g(x)
  •  \Re [g(x)] \;  é a parte real de g(x)

Utilização de transformada de Laplace para calcular transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

Podemos utilizar uma tabela de pares de transformadas de Laplace, do tipo unilaterais, para determinar a Transformada de Fourier de funções para as quais a integral de Fourier converge. A integral de Fourier converge quando todos os polos de F(s) encontram-se na metade esquerda do plano s.

Se F(s) tiver polos ao longo do eixo imaginário ou na metade direita do plano s, f(t) não satisfaz a restrição de que F(s) de que  \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt existe.

As regras que seguem se aplicam ao uso de transformadas de Laplace para calcular as transformadas de Fourier nos casos possíveis.

  • Caso f(t) seja zero para t ≤ 0, obtemos a transformada de Fourier de f(t) pela transformada de Laplace de f(t) com a substituição de s por jω. Desta forma,

 \mathcal{F}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{f(t)\} s = jω.

Por exemplo, digamos que

f(t) =  0 , t≤0-; f(t) =  e^{-at} \cos(\omega ot), t≥0+.

Então

\mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \; =  \frac{jw + a}  {(jw+a)^2 + wo^2}
, pois s = jω

  • Como o intervalo de integração da integral para a transformada de Fourier está entre -\infty e +\infty, há a transformada de Fourier de uma função definida para valores negativos do tempo.

Essa função de tempo negativo não é nula para valores negativos de tempo e vale zero para valores positivos de tempo. Para determinar a transformada de Fourier dessa função, fazemos o que segue: primeiramente, espelhamos a função de tempo negativo para o domínio positivo do tempo e, então, determinamos sua transformada unilateral de Laplace. Obtemos a transformada de Fourier da função original trocando s por -jω. Desta forma, quando f(t) = 0 para t ≥ 0-,

\mathcal{F}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{f(-t)\} s = -jω.

Por exemplo, caso

f(t) =  0 , t ≥0+;

f(t) =  e^{at} \cos(\omega ot) , t ≤ 0-.

então

f(-t) =  0 , t ≤ 0-;

f(-t) =  e^{-at} \cos(\omega ot), t ≥ 0+.

A transformada de Fourier de f(t) é a seguinte:

\mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \; =  \frac{-jw + a}  {(-jw+a)^2 + wo^2} , pois s = -jω.

  • Funções que não são nulas em todo o intervalo de tempo podem ser transformadas numa soma de funções de tempo negativo e positivo. A transformada de Fourier da função original é a soma das duas transformadas. Assim, caso fizermos

f+(t) = f(t) , para t>0,

f-(t) = f(t) , para t<0,

então

f(t) = f+(t) + f-(t)

e

\mathcal{F} \left\{ f(t) \right\} \; =  \mathcal{F} \left\{ f^+(t) \right\} + \mathcal{F} \left\{ f^-(t) \right\}

=  \mathcal{L} \left\{ f^+(t) \right\} + \mathcal{L} \left\{ f^-(t) \right\} com s = jω na primeira e s = -jω na segunda parcela da soma.

Utilização de limites matemáticos para calcular transformadas de Fourier[editar | editar código-fonte]

Para mostar a utilização de limites matemáticos para calcular transformadas de Fourier, tomaremos como exemplo a transformada de Fourier da função sinal. A função sinal (sgn(t)) é definida como -1 para t > 0 e +1 para t > 0, podendo ser expressa em termos de funções degrau unitário, ou

sgn(t) = u(t) - u(-t).

O gráfico para a função sinal é mostrado abaixo:

Gráfico da função sinal no tempo.

Para determinar a transformada de Fourier da função sinal, primeiramente, criamos uma função que, no limite, tende à função sinal:

sgn(t)=  \lim_{\in \to 0}[e^{-\in t}u(t) - e^{\in t}u(-t)],  \in > 0

A função entre colchetes, na função acima, tem uma transformada de Fourier, já que a integral de Fourier converge. Visto que f(t) é uma função ímpar, usamos a equação \mathcal{L} \left\{ f^+(t) \right\} + \mathcal{L} \left\{ f^-(t) \right\}, com s = jω na primeira e s = -jω na segunda parcela da soma, para determinar sua transformada de Fourier, como segue abaixo:

\mathcal{F}\left\{ f(t) \right\} = \biggl(\frac{1}{jw+\in}\biggr) - \biggl(\frac{1}{-jw+\in}\biggr) = \frac{-2jw}{w^2+\in^2}

Quando \in → 0, f(t)sgn(t) e \mathcal{F}\left\{ f(t) \right\}\frac{2}{j\omega}. Deste modo,

\mathcal{F}\left\{ sgn(t) \right\} = \frac{2}{j\omega}.

Utilização da transformada de Fourier para determinar a resposta em regime transitório de circuitos elétricos[editar | editar código-fonte]

Para mostrar como encontra-se a resposta transitória de um circuito elétrico com o uso de transformada de Fourier, utilizaremos o exemplo I, que segue abaixo.

Exemplo I[editar | editar código-fonte]

Utilizaremos a transformada de Fourier para determinar io(t) no circuito abaixo, sabendo que ig(t) vale 20 sgn(t) amperes.

Circuito exemplo - Transformada de Fourier para análise de circuitos elétricos.jpg

Primeiramente, calcula-se a transformada de Fourier da fonte de corrente:


Ig(w) = \mathcal{F}\left\{20 sgn(t) \right\}

= 20\biggl(\frac{2}{jw}\biggr)

= \frac{40}{jw}

A função de transferência do circuito é a razão entre Io e Ig, desta maneira:

H(w) = \frac{Io}{Ig} = \frac{1}{4 + jw}

A transformada de Fourier de io(t) é a seguinte: H(ω) = Ig(ω)H(ω)

= \frac{40}{jw(4 +jw)}

Ao expandir Io(ω) em uma soma de frações parciais, temos:

Io(w) = \frac{C1}{jw} + \frac{C2}{4 + jw}

Analisando C1 e C2, obtemos:

C1 = \frac{40}{4} = 10,

C2 = \frac{40}{-4} = -10.

Portanto,

Io(w) = \frac{10}{jw} - \frac{10}{4 + jw}.

Logo, a resposta para Io(t) é:

io(t) = \mathcal{F}^{-1}\{Io(w)\}

= 5 sgn(t) - 10e^{-4t} u(t).

Vale observar que uma característica importante da transformada de Fourier é que ela fornece, de maneira direta, a resposta de regime permanente do circuito quando a entrada é do tipo senoidal.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b Ou seja, complexa com a parte real par e a parte imaginária ímpar.
  2. a b Ou seja, complexa com a parte real ímpar e a parte imaginária par.


Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Aspects de l’œuvre de Fourier émission Continent Sciences sur France Culture, 7 février 2011
  2. Hsu, Hwei P. (1970). Análise de Fourier [S.l.: s.n.] 
  3. Figueiredo, Djairo Guedes (1977). Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais [S.l.: s.n.]  line feed character character in |título= at position 43 (Ajuda)
  4. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.
  5. BRACEWELL, R. - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Ed., New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 2, pp. 5 e 6, ISBN 978-0-1381-4757-0
  6. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 110
  7. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 108
  8. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 111
  9. a b BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 135
  10. a b BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 113
  11. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 124
  12. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 163
  13. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 115
  14. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 122
  15. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 6, pág. 119
  16. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 152 a 158
  17. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 160
  18. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pág. 167
  19. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 174 a 176
  20. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 8, pp. 177 a 178
  21. University of Alabama in Huntsville - Table of Fourier Transform Pairs, disponível em http://www.ece.uah.edu/courses/ee426/fourier.pdf, acessado em 21/09/2012
  22. M. Spiegel - Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, São Paulo, McGraw Hill do Brasil, 1973, pp. 174 a 178
  23. Hwei P., Hsu (1970). Análise de Fourier [S.l.: s.n.] 
  24. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 13
  25. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 14
  26. BRACEWELL, R. - op. cit., Cap. 2, pág. 16

[1]

  1. Sadiku, Charles (2013). Fundamentals of Electric Circuits, 5th Edition (New York: Triall Composição Editorial Ltda).