Teorema da convolução

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Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto ponto a ponto das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier.

Sejam e duas funções e sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial algumas vezes é usado no seu lugar.). Seja o operador transformada de Fourier, tal que e são as transformadas de Fourier de e , respectivamente. Então

onde o símbolo denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira:

A respeito da transformada inversa de Fourier , podemos escrever:

Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de Prova abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente ou ) aparecerão nas fórmulas.

Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos.

Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.

Prova[editar | editar código-fonte]

Esta prova se baseia numa forma normalizada particular da transformada de Fourier. Como mencionado acima, se outra normalização for usada, fatores de escalamento constantes aparecerão no desenvolvimento.

Sejam f e g duas funções pertencentes a L1(Rn). Seja a transformada de Fourier de e a transformada de Fourier de :

onde o ponto entre x e ν indica o produto interno (ou escalar) em Rn. Seja a convolução de e

Agora, note-se que

Daí, pelo teorema de Fubini, temos que tal que sua transformada de Fourier é dada pela fórmula integral

Observe-se que e assim, de acordo com o argumento acima, pode-se aplicar o teorema de Fubini novamente:

Substituindo-se ; então , logo

Essas duas integrais são as definições de e , logo

QED.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4