Transformada de Hartley

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A função cas(x) (linha vermelha) é o núcleo da transformada de Hartley. Sua derivada é a função cas'(x) (linha azul, tracejada).

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculo[nota 1] e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942[1] para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell[2] (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 1983[3] .

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa[4] . Entretanto, a transformada óptica de Hartley não parece ser muito empregada ainda[carece de fontes?].

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier[5] .

Definição[editar | editar código-fonte]

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:



onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)


[1] [5]


é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno[1] [6] .

Transformada inversa[editar | editar código-fonte]

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):


[1] [nota 2]


Convenções[editar | editar código-fonte]

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:

  • Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
  • Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção[1] [2] .
  • Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo[carece de fontes?].

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:




É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.


Relação com a transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial , onde i é a unidade imaginária.

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:



Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:



onde e denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier[1] [7] .

A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da transformada real de Fourier R(ω) por meio da fórmula abaixo:



onde Rp(ω) e Ri(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω)[8] .

Relações similares existem com a transformada real de Mellin M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:



onde Mp(σ,ω) e Mi(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω)[9] .


Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as condições de Dirichlet:

  • f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞]
  • f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo
  • f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞

Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley[10] .

Interpretação da transformada de Hartley[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe simetria hermitiana, ou seja F(-ω) = F*(ω), onde F*(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real[11] .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).

Teorema da convolução[editar | editar código-fonte]

Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções e têm transformadas de Hartley e , respectivamente, então sua convolução tem a transformada de Hartley



onde Yp e Yi são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).

A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para



que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier[1] .

Paridade[editar | editar código-fonte]

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar[1] .

Espectro de potência e fase[editar | editar código-fonte]

A densidade espectral P e a fase φ da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões




a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em




Observe-se que P(ω) será sempre uma função par[12] [nota 3] .

Escalamento e deslocamento do eixo[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então



e



Em particular, se a = -1, então [13] .

Modulação[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω0·x), então


[13]


Derivadas[editar | editar código-fonte]

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por



onde cas' é a função cas complementar (ver abaixo)[14] .

Tabela de Transformadas de Hartley[editar | editar código-fonte]

A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver acima), as duas opções foram contempladas.

Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)[15]
[nota 4]
onde:

Função cas[editar | editar código-fonte]

As propriedades da função cas seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da trigonometria.

Adição de ângulos[editar | editar código-fonte]


ou



No caso particular:



Derivada e anti-derivada[editar | editar código-fonte]


esta função é conhecida como cas complementar[5] .




Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x)[editar | editar código-fonte]



Relação com a função exponencial[editar | editar código-fonte]


Produtos[editar | editar código-fonte]



[16]

Série de Hartley[editar | editar código-fonte]

A série de Hartley é uma expansão em série infinita de uma função periódica f(t), na forma



onde τ é o período de f(t) e os coeficientes ak são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a base ortogonal sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.

A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático ε2 na representação da função f(t) por meio da série finita



definido por

é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de K[nota 5] [nota 6] . Em outras palavras, os coeficientes ak fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.

Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear ε, definido como

pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente)[nota 7] . Essa propriedade decorre da equação de Parseval

[17]


Os coeficientes ak na equação (5a) são dados pela fórmula


[18]


Outras propriedades da série de Hartley[editar | editar código-fonte]

Reversão no tempo[editar | editar código-fonte]

Se g(t) = f(-t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão para qualquer j.

Paridade[editar | editar código-fonte]

Se f(t) for uma função par, então para qualquer j. Se f(t) for uma função ímpar, para qualquer j[nota 8] . Se f(t) for uma função com anti-simetria de meia-onda, ou seja, , então aj = 0 para j par.

Derivada e anti-derivada[editar | editar código-fonte]

Se denotarmos por g(t) a derivada de f(t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão para qualquer j.

Se denotarmos por g(t) a anti-derivada de f(t), os coeficientes bk da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes ak da série de Hartley de f(t) pela expressão para qualquer j[19] .


A Transformada Discreta de Hartley[editar | editar código-fonte]

(ver o artigo principal Transformada discreta de Hartley)

A transformada de Hartley é definida em um espaço euclideano contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

onde τ é tamanho do período amostrado. A expressão (6a) é muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A sequência original é recuperada pela aplicação da transformada inversa, ou seja, os valores fk de f são obtidos a partir dos coeficientes ak pela fórmula:

Perceba-se que a simetria entre a transformada e a inversa é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell(2000).

Como a DHT recebe como entrada uma sequência finita de n valores, pressupõe-se que a função sob análise f(t), de onde se originou a sequência f(k), seja periódica, com período igual ou inferior a τ.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de erro de truncamento e serrilhamento (ing. aliasing). Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A propriedade do valor inicial possui a forma seguinte:

onde ak são os valores da sequência DHT{f(k)} e fk são os valores da sequência f(k).

A propriedade do deslocamento do eixo, correspondente às equações (3e) e (3f) para a versão contínua, deve ser escrita da forma seguinte:

onde bk são os valores da sequência DHT{f(k + m)}, e m é um inteiro entre 0 e n. Na expressão (6e), como se trata de uma convolução cíclica, valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado, isto é, um valor na faixa [0,n].

A propriedade da primeira diferença é expressa da forma seguinte:

onde bk são os valores da sequência DHT{f(k + 1) - f(k)}.

O teorema de Parseval deve ser escrito da forma seguinte:

[1]

Cálculo da DHT[editar | editar código-fonte]

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês Fast Hartley Transform). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (Fast Fourier Transform) e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos, além da computação de convoluções discretas[1] .

Transformada de Hartley em duas dimensões[editar | editar código-fonte]

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões, ou seja, a transformada de Hartley de uma função f(x,y) de duas variáveis reais independentes. Da mesma forma que no caso unidimensional, existem as versões contínua e discreta da transformada bidimensional.

Transformada bidimensional de Hartley[editar | editar código-fonte]

Essa transformada é definida pela equação



e a inversa por



Existe uma definição similar para a transformada em três dimensões[14] .

Uma variante da transformada bidimensional de Hartley é a transformada CasCas, que utiliza como núcleo a função . Essa possibilidade de optar entre dois núcleos também existe para a transformada bidimensional de Fourier, e representa as duas maneiras diferentes de se esquadrinhar um plano[1] .

Transformada discreta bidimensional de Hartley[editar | editar código-fonte]

Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões dada por outra matriz m x n, que é a transformada discreta bidimensional de Hilbert (DHT2). Os coeficientes aj,k de tal matriz são valores reais, obtidos dos coeficientes f(j,k) pela fórmula


onde τm e τn são o tamanho do intervalo amostrado em cada dimensão. A transformada inversa, aplicada à matriz DHT2, resulta na matriz original f; os coeficientes de f são obtidos dos coeficientes aj,k pela fórmula


Existem definições similares para transformadas em mais dimensões[1] .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Quando aplicada a uma função de valores reais, o que geralmente é o caso.
  2. Essa expressão é válida apenas quando se emprega a definição (1a) para a transformada ou substitui-se ω por 2πν. Em outros casos, podem aparecer fatores de escalamento (ver o item Convenções).
  3. Uma das desvantagens da transformada de Hartley, em relação à transformada de Fourier, é justamente que a variação do ângulo de fase com a frequência não é tão clara.
  4. Conhecida como função rampa unitária.
  5. Essa propriedade é conhecida como a propriedade da finitude dos coeficientes.
  6. A prova é conhecida como o Lema de Riemann-Lebesgue.
  7. Essa propriedade é conhecida como da completude dos coeficientes.
  8. E, por conseguinte, a0 = 0.


Referências adicionais[editar | editar código-fonte]


Ligações externas[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. a b c d e f g h i j k l Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 12, pp. 293-328,ISBN 978-0-1381-4757-0
  2. a b K. Olejniczak - The Hartley Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 342 a 343
  3. Bracewell, R. - Discrete Hartley transform, in Journal of the Optical Society of America, vol. 73, issue 12, disponível em https://www.opticsinfobase.org/josa/abstract.cfm?uri=josa-73-12-1832, acessado em 29/11/2013
  4. Villasenor, J. - Optical Hartley transforms, Proc. IEEE 82 (3), 1994, pp. 391-399, disponível em http://dx.doi.org/10.1109/5.272144
  5. a b c A. Poularikas (org) - Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, Cap. 14, disponível em http://dsp-book.narod.ru/HFTSP/8579ch14.pdf, acessado em 03/10/2012
  6. K. Olejniczak - op. cit., pag. 347
  7. K. Olejniczak - op. cit., pp. 349 a 350
  8. K. Olejniczak - op. cit., pág. 352
  9. K. Olejniczak - op. cit., pág. 353
  10. K. Olejniczak - op. cit., pp. 346 e 349
  11. K. Olejniczak - op. cit., pp. 348 a 349
  12. K. Olejniczak - op. cit., pp. 354 a 355
  13. a b K. Olejniczak - op. cit., pag. 355
  14. a b K. Olejniczak - op. cit., pág. 357
  15. K. Olejniczak - op. cit., pp. 386 a 396
  16. K. Olejniczak - op. cit., pag. 344
  17. K. Olejniczak - op. cit., pp. 358 a 362
  18. K. Olejniczak - op. cit., pag. 365
  19. K. Olejniczak - op. cit., pp. 366 a 367