Função sinc

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Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por e às vezes como , tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:[1]

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os é . A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.[2]

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por[3]

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite . A função sinc é analítica em toda parte.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de .

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de ; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, para todos os onde a derivada de é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

e está relacionada à função gama pela fórmula de reflexão de Euler:

Euler descobriu que[4]

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(),

onde a função retangular é para argumentos entre , e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

  • É uma função de interpolação, ou seja, , e para inteiros e não-nulos.
  • As funções formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções , cuja maior frequência angular é (isto é, o ciclo de frequência mais alto é ).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

  • O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, . O sinc normalizado é .
onde é o seno integral.
  • (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear
A outra solução é , que diverge em , ao contrário da função sinc.

onde o sinc normalizado é significativo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), Numerical methods, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248 (em inglês)
  2. M. J. Roberts, Fundamentos de Sinais e Sistemas, McGraw Hill Brasil ISBN 8-563-30857-2
  3. Alfredo Julio Fernandes Neto, Flávio Domingues das Neves, Paulo Cézar Simamoto Junior, Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ed , AMGH Editora, 2013 ISBN 8-580-55173-0
  4. Euler, Leonhard, On the sums of series of reciprocals Bibcode2005math......6415E (em inglês)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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