Função teta

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Função teta de Jacobi original com e com nome .

Em matemática, as funções teta são funções especiais de múltiplas variáveis complexas. São importantes em diversas áreas, incluindo as teorias de variedades abelianas e espaço de moduli, e das formas quadráticas.Também são aplicadas na teoria do sóliton. Quando generalizada na álgebra de Grassmann, elas também aparecem na teoria quântica de campo, mas especificamente na teoria de cordas e D-branas.

A forma mais comum da função teta de é aquela que aparece na teoria das funções elípticas. Com respeito a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de z), uma função teta possui uma propriedade de expressar seu comportamento com respeito a adição de um período das funções elípticas associadas, fazendo-a uma função quasi-periódica.

Função teta de Jacobi[editar | editar código-fonte]

A função teta de Jacobi (nomeada em referência a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas z e τ, onde z pode ser qualquer número complexo e τ é confinada no meio plano superior, o que significa que possui parte imaginária positiva. A função é dada pela fórmula:

Se τ é fixo, ela se torna uma série de Fourier para uma função inteira periódica de z com período 1; neste caso, a função teta satisfaz a identidade

A função também se comporta muito regularmente com respeito a seu quasi-período τ e satisfaz a equação funcional

onde a e b são inteiros.

Função teta com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima
Função teta com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima

Funções auxiliares[editar | editar código-fonte]

A função teta de Jacobi também pode ser escrita com um duplo 0 subscrito:

Três funções teta auxiliares (meio-período) são definidas por:

Esta notação segue a formulação de Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi estava em termos do nome q = exp(πiτ) ao invés de τ. Na notação de Jacobi, as funções θ eram escritas como

As definições da função teta de Jacobi supracitadas não são únicas.

Se fizermos z = 0 nas funções teta, obtemos quatro funções para τ apenas, definidas no semiplano superior (por vezes chamadas constantes tetas). Elas podem ser utilizadas para definir uma variedade da forma modular, e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é

que é a curva de Fermat de quarto grau.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]