Função teta

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Função teta de Jacobi original  \theta_1 com  u = i \pi  z e com nome  q = e^{i \pi \tau}= 0.1 e^{0.1 i \pi}.

Em matemática, as funções teta são funções especiais de múltiplas variáveis complexas. São importantes em diversas áreas, incluindo as teorias de variedades abelianas e espaço de moduli, e das formas quadráticas.Também são aplicadas na teoria do sóliton. Quando generalizada na álgebra de Grassmann, elas também aparecem na teoria quântica de campo, mas especificamente na teoria de cordas e D-branas.

A forma mais comum da função teta de é aquela que aparece na teoria das funções elípticas. Com respeito a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de z), uma função teta possui uma propriedade de expressar seu comportamento com respeito a adição de um período das funções elípticas associadas, fazendo-a uma função quasi-periódica.

Função teta de Jacobi[editar | editar código-fonte]

A função teta de Jacobi (nomeada em referência a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas z e τ, onde z pode ser qualquer número complexo e τ é confinada no meio plano superior, o que significa que possui parte imaginária positiva. A função é dada pela fórmula:


\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z)
= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z).

Se τ é fixo, ela se torna uma série de Fourier para uma função inteira periódica de z com período 1; neste caso, a função teta satisfaz a identidade

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau).

A função também se comporta muito regularmente com respeito a seu quasi-período τ e satisfaz a equação funcional

\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\,\vartheta(z;\tau)

onde a e b são inteiros.

Função teta \theta_1 com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima
Função teta \theta_1 com diferente nome q. A função é definida como na imagem acima

Funções auxiliares[editar | editar código-fonte]

A função teta de Jacobi também pode ser escrita com um duplo 0 subscrito:

\vartheta_{00}(z;\tau) = \vartheta(z;\tau)

Três funções teta auxiliares (meio-período) são definidas por:


\begin{align}
\vartheta_{01}(z;\tau)& = \vartheta\!\left(z+{\textstyle\frac{1}{2}\pi};\tau\right)\\[3pt]
\vartheta_{10}(z;\tau)& = \exp\!\left({\textstyle\frac{1}{4}}\pi i \tau + \pi i z\right)
\vartheta\!\left(z + {\textstyle\frac{1}{2}}\tau;\tau\right)\\[3pt]
\vartheta_{11}(z;\tau)& = \exp\!\left({\textstyle\frac{1}{4}}\pi i \tau + \pi i\!\left(z+{\textstyle
\frac{1}{2}}\right)\right)\vartheta\!\left(z+{\textstyle\frac{1}{2}}\tau + {\textstyle\frac{1}{2}};\tau\right).
\end{align}

Esta notação segue a formulação de Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi estava em termos do nome q = exp(πiτ) ao invés de τ. Na notação de Jacobi, as funções θ eram escritas como


\begin{align}
\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\
\theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\
\theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\
\theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau)
\end{align}

As definições da função teta de Jacobi supracitadas não são únicas.

Se fizermos z = 0 nas funções teta, obtemos quatro funções para τ apenas, definidas no semiplano superior (por vezes chamadas constantes tetas). Elas podem ser utilizadas para definir uma variedade da forma modular, e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é


\vartheta_{00}(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4

que é a curva de Fermat de quarto grau.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]