Fibrado vectorial

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Em topologia diferencial, um fibrado vectorial é um espaço topológico que é um associação de um espaço vectorial a cada ponto de outro espaço topológico (mais simples), satisfazendo determinadas propriedades que ligam a estrutura dos espaços topológicos aos espaços vetoriais.

Ao espaço topológico mais simples chama-se base, a cada espaço vectorial uma fibra e à união de todas as fibras o espaço total do fibrado.

Essencialmente, a propriedade para ligar a base às fibras é que, localmente, o fibrado vectorial seja muito parecido com um cilindro, ou seja, para cada ponto x do espaço topológico exista uma vizinhança U de x no espaço topológico tal que U x o espaço vetorial seja homeomorfo a um aberto do fibrado.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um fibrado vectorial se caracteriza por:

  • Um espaço topológico E (chamado espaço total, por abuso de linguagem, às vezes chamado de o próprio fibrado vectorial)
  • Um espaço topológico X (chamado de base)
  • Uma projeção contínua \pi: E \to X\,
  • Para todo x \in X\,, uma estrutura de espaço vectorial em \pi^{-1}(x) \subseteq E\,

Satisfazendo o axioma:

  • Para todo x \in X\,, existe uma vizinhança U de x, um número natural k e um homeomorfismo \phi: U \times \R^k \to \pi^{-1}(U)\, em que:
    • \pi(\phi(x, v)) = x\, para todo vetor v de \R^k\,
    • a função v \to \phi(x, v)\, é um isomorfismo entre os espaços vectoriais \R^k\, e \pi^{-1}(x)\,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se E é um espaço vectorial e X é um espaço topológico, então o produto E×X é um fibrado vectorial sobre X.
  • O fibrado tangente de uma variedade diferenciável é um fibrado vectorial sobre essa variedade.
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