Fibrado tangente

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Informalmente, o fibrado tangente de uma variedade (neste caso um círculo) é obtido por considerar-se todos os espaços tangentes (em cima), e reuní-los de forma diferenciável e sem sobreposição (em baixo).[nota 1]

Em matemática, o fibrado tangente de uma variedade diferenciável M é a união disjunta[nota 1] de todos os espaços tangentes de M. Em símbolos,

TM = \bigsqcup_{x\in M}T_xM=\bigcup_{x\in M} \left\{x\right\}\times T_xM.

onde TxM denota o espaço tangente de M no ponto x. Assim, um elemento de TM pode ser pensado como um par (xv), em que x é um ponto em M e v é um vetor tangente a M em x. Existe uma projeção natural

\pi\colon TM \to M

definida por π(xv) = x. Esta projeção leva cada espaço tangente TxM no ponto específico x.

Definição como direções das curvas[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que M é uma variedade Ck, e φ: URn onde U é um subconjunto aberto de M, e n é a dimensão da variedade, na carta φ(.) além disso supõe que TpM é o espaço tangente em um ponto p de M. Então o fibrado tangente,

 {TM} = \bigcup_{p \in M} T_{p}M

É útil, para distinguir entre o fibrado e o espaço tangente, considerar suas dimensões, 2n, n respetivamente. Quer dizer, o fibrado tangente considera dimensões tanto das posições na variedade assim como das direções tangentes.

Posto que podemos definir uma função da projeção, π para cada elemento do fibrado tangente que do elemento na variedade cujo espaço tangente contém o primeiro elemento, todo fibrado tangente é também um fibrado.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b A união disjunta garante que para quaisquer dois pontos x1 e x2 da variedade M os espaços tangentes T1 e T2 não têm vetores em comum. Isso é ilustrado graficamente na imagem para o fibrado tangente da circunferência S1: todas as tangentes à circunferência estão no plano da circunferência. Para torná-las disjuntas, é preciso alinhá-las em um plano perpendicular.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
  • M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [1]

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