Soma de Riemann

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Quatro dos métodos do somatório de Riemann para aproximação da área sob curvas. Métodos à direita e à esquerda fazem a aproximação usando os pontos finais à direita e à esquerda de cada subintervalo, respectivamente. Métodos máximo e mínimo fazem a aproximação usando o maior e menor valores de pontos finais de cada subintervalo, respectivamente. Os valores das somas convergem como os subintervalos da metade superior à esquerda a baixo à direita.

Na matemática, a Soma de Riemann é uma aproximação obtida pela expressão Σ f(x)*Δx. É nomeada em homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann. Uma aplicação muito comum é a aproximação da área de funções ou linhas em um gráfico, mas também o comprimento das curvas e outras aproximações.

A soma é dada pela divisão da região a ser calculada em formas (retângulos, trapézios, parábolas ou cubos) que juntos formam uma região que é similar àquela a ser medida, então calcula-se a área de cada uma das formas, e finalmente soma-se todas essas áreas menores juntas.  Essa abordagem pode ser usada para encontrar uma aproximação numérica para a integral definida mesmo se o teorema fundamental do cálculo não ajudar a encontrar uma forma fechada.

Tendo em vista que a região preenchida pelas formas menores geralmente não corresponde a exata forma da região a ser medida, a Soma de Riemann será diferente desta. Esse erro pode ser reduzido se a região for mais dividida, usando formas cada vez menores. Ao passo que as formas ficam menores, a soma se aproxima a Integral de Riemann.

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere f:D → R sendo uma função definida do subconjunto D, de números reais, R. Tome I = [ab] como um intervalo fechado contido em D, e

P=[x_0,x_1],[x_1,x_2],..., [x_{n-1},x_n],

sendo uma partição de I, onde

a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b.

Uma soma de Riemann de f sobre I com a partição P é definida como

S= \sum_{ i \mathop =1}^n f(x^*_i)(x_i-x_{i-1}),   x_{i-1} \leq x^*_i \leq x_i.

Atenção no uso de “uma” ao invés de “a” em referência a soma de Riemann. Isso ocorre pelo fato que a escolha de x^*_i  no intervalo [x_{i-1}, x_i]  é arbitrária, dado o fato que qualquer função f definida em um intervalo I e na partição fixada P, pode produzir uma soma de Riemann diferente em decorrência de qual x^*_i foi escolhido, desde que x_{i-1} \leq x^*_i \leq x_i se mantenha verdadeiro.

Exemplo: Escolhas específicas de x^*_i nos dão diferentes tipos de soma de Riemann:

  • Se x^*_i= x_{i-1} para todo i, então S é chamado de Soma de Riemann à Esquerda;
  • Se x^*_i=x_i para todo i, então  S é chamado de Soma de Riemann à Direita;
  • Se x^*_i= \frac{1}{2} (x_i + x_{i-1}) para todo i, então é S é chamado de Soma de Riemann Média.
  • A média entre a Soma à Esquerda e a Soma à Direita é chamada de Soma Trapezoidal.
  • Se é dado que S= \sum_{ i \mathop =1}^n v_i(x_i-x_{i-1}),  onde v_i é o supremo de f sobre [x_{i-1}, x_i] , então S é definido como uma Soma de Riemann Superior;
  • De forma semelhante, se v_i é o ínfimo de f sobre [x_{i-1},x_i] , então S é definido como uma Soma de Riemann Inferior.

Qualquer soma de Riemann em dada partição (isto é, qualquer soma obtida pela escolha de x^*_i entre x_{i-1} e x_i ) está entre as somas de Riemann superior e a inferior. Uma função é definida como integrável por Riemann se a soma inferior e superior forem se aproximando conforme a partição se afina. Este fato pode ser também usado para a integração numérica.

Método[editar | editar código-fonte]

Soma de Riemann à Esquerda
Soma de Riemann à Direita

Os quatro métodos de Riemann para a soma são geralmente melhor usados com partições de tamanhos equivalentes. O intervalo [a, b] é, portanto, dividido em n subintervalos, de comprimento

\Delta x= {b-a \over n}.   Os pontos na partição serão então a, a+ \Delta x, a+ 2 \Delta x, . . ., a+ (n-2)\Delta x, a +(n-1)\Delta x, b.

Soma de Riemann à Esquerda[editar | editar código-fonte]

Para a Soma de Riemann à Esquerda, aproxima-se a função pelo seu valor no ponto final à esquerda, dando múltiplos retângulos com base Δx e altura f(a+iΔx). Tomando para i = 0, 1, ... n-1, e adicionando as áreas resultantes temos

\Delta x{}[f(a)+ f(a+\Delta x)+ f(a+2\Delta x) + ... + f(b-\Delta x)].

 A soma de Riemann à esquerda resulta em uma superestimação se f está monotonicamente decrescendo nesse intervalo, e em uma subestimação se f está monotonicamente crescendo.

Soma de Riemann à Direita[editar | editar código-fonte]

Nessa soma, aproxima-se f de seu valor no ponto final à direita. São gerados, então, múltiplos retângulos de base Δx e altura f(a+Δx). Tomando para i – 1 , ..., n e adicionando as áreas resultantes se produz

\Delta x{}[f(a+\Delta x)+ f(a+2\Delta x) + ... + f(b)].  

Soma de Riemann Média

A soma de Riemann à direita resulta em uma subestimação se f está monotonicamente decrescendo, e uma superestimação se f está

monotonicamente crescendo. O erro na fórmula será

\vert\int_a^bf(x)dx-A_{direita}\vert \leq \frac {M_1(b-a)^2}{2n},

 onde M_1 é o valor máximo do valor absoluto de f'(x) nesse intervalo.

Soma de Riemann Regra Trapezoidal

Soma Média[editar | editar código-fonte]

Aproximando f no ponto médio dos intervalos expressam f(a+Δx/2) para o primeiro intervalo, para o próximo temos f(a+3Δx/2), e assim por diante até f(b-Δx/2). Somando as áreas temos

\Delta x [f(a+ \frac {\Delta x}{2})+ f(a+ \frac {3\Delta x}{2})+ ... + f(b- \frac {\Delta x}{2})]. 

O erro dessa formula será

\vert\int_a^b f(x)dx - A_{media}\vert \leq \frac {M_2(b-a)^3}{24n^2},

onde M_2 é o valor máximo do valor absoluto de f''(x) nesse intervalo.

Regra Trapezoidal[editar | editar código-fonte]

Nesse caso, os valores da função f no intervalo são aproximados pela média dos valores nos pontos finais da direita e da esquerda. Dessa mesma maneira, um simples cálculo usando a formula da área

A= \frac {1}{2}h(b_1+b_2)

 para um trapézio de lados paralelos b1, b2 e altura h produz

\frac {1}{2}\Delta x [f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+2f(a+3\Delta x)+ ... + f(b)].

O erro dessa fórmula será

\vert\int_a^b f(x)dx - A_{trap}\vert \leq \frac {M_2(b-a)^3}{12n^2},

 onde M_2 é o valor máximo do valor absoluto de f''(x).

 A aproximação obtida com a regra do trapézio para a função é o mesmo que a média da somas esquerdas e direitas dessa função.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O valor da Soma de Riemann sob a curva y=x² de 0 à 2. Conforme o número de retangulos aumenta, aproxima-se da área exata de 8/3

Tomado um exemplo, a área sob a curva de y=x2 entre 0 e 2 pode ser processualmente computada usando o método de Riemann.

O intervalo [0,2] é primeiramente dividido em n subintervalos, cada um deles com comprimento de \frac {2}{n} ; esse é o comprimento dos retângulos de Riemann (a seguir chamadas “caixas”). Já que será usada a soma de Riemann à direita, a sequência de coordenadas x para as caixas será x_1, x_2,...,x_n. Dessa forma, a sequência de alturas das caixas será x_1^2, x_2^2,...,x^2_n. É um fato importante que x_i=\frac {2i}{n} e x_n=2.

A área de cada caixa será \frac {2}{n}\times x^2_i e sendo assim a soma de Riemann à direita será: 

\begin{matrix}S&=& \frac {2}{n}\times \left (\frac {2}{n} \right)^2+...+ \frac {2}{n}\times \left (\frac {2i}{n}\right)^2+...+\frac {2}{n}\times \left (\frac {2n}{n}\right)^2 \\
&=& \frac {8}{n^3}(1+...+i^2+...n^2)\\
&=& \frac {8}{n^3}\left (\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\\
&=& \frac {8}{n^3} \left ( \frac {2n^3+3n^2+n}{6}\right) \\
&=& \frac {8}{3}+\frac {4}{n}+\frac {4}{3n^2}
\end{matrix}

Se o limite é visualizado como  n → ∞, pode-se concluir que a aproximação alcança o valor real da área  sob a curva ao passo que o número de caixas aumenta.

Consequentemente:

\lim_{n\to \infty}S=\lim_{n \to \infty} \left (\frac {8}{3}+\frac {4}{n}+\frac {4}{3n^2} \right )= \frac {8}{3} .

Esse método concorda com a integral definida tal qual calculada nos modos mais mecânicos:

\int^2_0x^2dx=\frac {8}{3}

Animações[editar | editar código-fonte]

Soma de Riemann à Esquerda
Soma de Riemann à Direita
Soma de Riemann Média
Soma de Riemann para y=x³

Ver também[editar | editar código-fonte]

Integral de Riemann

Integral de Riemann-Stieltjes

Integral de Lebesgue

Fórmula de Simpson

Primitiva

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7