Partição de um intervalo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Uma partição de um intervalo sendo usada em uma soma de Riemann. A partição propriamente dita é mostrada em cinza embaixo, com um subintervalo indicado em vermelho.

Em matemática, uma partição de um intervalo , geralmente denotada ou , na reta real é uma sequência finita de números reais tal que:

Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo ) que começa no ponto inicial de e termina no ponto final de .

Todo intervalo da forma é referido como um subintervalo de partição .

Estas partições são utilizadas na teoria da integral de Riemann e da integral de Riemann–Stieltjes.[1]

Refinamento da partição[editar | editar código-fonte]

Outra partição do intervalo dado, , é definida como um refinamento da partição, , quando contém todos os pontos de e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de é considerada "mais fina" que . Dadas duas partições, e , pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado , que consiste em todos os pontos de e , renumerados em ordem.[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de partição é o seguinte:

Dado o intervalo , uma partição de tal intervalo seria:

Outra possível partição para o mesmo intervalo seria:

, com mais "fina" que .

Norma de uma partição[editar | editar código-fonte]

A norma de uma partição

é o comprimento do mais longo deste subintervalos

[3][4]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.[5]

Partições marcadas[editar | editar código-fonte]

Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números sujeita às condições que, para cada ,

Em outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma ordem parcial no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.[6]

Suponha que junto com é uma partição marcada de e que junto com é outra partição marcada de . Dizemos que e juntos são um refinamento da partição marcada junto com se, para cada número inteiro com , há um número inteiro tal que e tal que para algum com . Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Gordon, Russell (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0821838059. OCLC 30474120 
  2. Brannan, David Alexander (17 de agosto de 2006). A First Course in Mathematical Analysis (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139458955 
  3. O., Hijab, (2011). Introduction to calculus and classical analysis 3rd ed ed. New York: Springer. ISBN 9781441994882. OCLC 719363277 
  4. Antonovich, Vladimir (2004). Mathematical analysis. Berlin: Springer. ISBN 9783540406334. OCLC 52860218 
  5. Ghorpade, Sudhir (2006). A course in calculus and real analysis. New York: Springer. ISBN 9780387364254. OCLC 209919082 
  6. Dudley, Richard (2011). Concrete functional calculus. New York: Springer. ISBN 9781441969507. OCLC 695389112