Função vectorial

Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.

Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5

Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo e de Análise Real.

Definição

Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,

$\mathbf {f}$ : I ⇒ R³; t ⇒ $\mathbf {f(t)}$ $=(f1(t),f2(t),f3(t)),$

em que:

- $f1(t)$, $f2(t)$, $f3(t)$ são as funções componentes de $f$;

- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;

- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial $v(t)$ como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ e $\mathbf {k}$ de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

• $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$;
• $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}$

onde $f(t)$, $g(t)$, $h(t)$ são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de $\mathbf {r} (t)$.

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

• $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle$;
• $\mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$

Norma de uma Função Vectorial

Considerando uma função vetorial da forma:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:

|r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2

Limites e Continuidade

Dada uma função vetorial $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$ definimos o limite de $\mathbf {r} (t)$ quando $t$ tende a $t_{0}$ em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:

$\lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t):=\left(\lim _{t\to t_{0}}f(t)\right)\mathbf {i} +\left(\lim _{t\to t_{0}}g(t)\right)\mathbf {j}$

Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que $\mathbf {r} (t)$ é contínua em $t=t_{0}$ quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

• $t_{0}$ pertence ao domínio de $\mathbf {r} (t)$
• existe o $\lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)$
• $\lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (t_{0})$

Dizemos que $\mathbf {r} (t)$ é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Derivadas

Dada uma função vetorial $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$ definimos a derivada de $\mathbf {r} (t)$ em relação a $t$ por:

$\mathbf {r} '(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}(t)=\lim _{t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}$

Dizemos que $\mathbf {r} (t)$ é derivável (diferenciável) em $t=t_{0}$ quando $\mathbf {r} '(t_{0})$ existe. Além disso, dizemos que $\mathbf {r} (t)$ é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que $\mathbf {r} '(t)=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j}$. Além disso, vemos que $\mathbf {r} (t)$ é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}$.

Regras de derivação

Sejam $\mathbf {u} (t)$ e $\mathbf {v} (t)$ funções vetoriais diferenciáveis, $\mathbf {c}$ um vetor constante, $f(t)$ uma função escalar diferenciável e $c$ um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

• ${\frac {d\mathbf {c} }{dt}}=0$
• ${\frac {d}{dt}}\left[c\mathbf {u} (t)\right]=c{\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}$
• ${\frac {d}{dt}}\left[f(t)\mathbf {u} \right]={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {u} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {u(t)} }{dt}}$
• ${\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (t)\pm \mathbf {v} (t)\right]={\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}\pm {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}$
• ${\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\right]={\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}$
• ${\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (f(t))\right]=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))$

O ponto "$\cdot$" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial

Seja $\mathbf {r} (t)$ o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$ ou $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {j}$ assume-se que a função $\mathbf {r'} (t)$ é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.

Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a $\mathbf {r''} (t)$, analogamente, corresponde à sua aceleração.

Integrais

Dada uma função vetorial $\mathbf {r} (t)$, definimos sua integral indefinida em relação a $t$ por:

$\int \mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (t)+\mathbf {c}$

onde $\mathbf {R} (t)$ é uma primitiva de $\mathbf {r} (t)$, i.e. $\mathbf {R} '(t)=\mathbf {r} (t)$, e $\mathbf {c}$ é um vetor indeterminado.

Além disso, se $\mathbf {R} (t)$ é qualquer primitiva de $\mathbf {r} (t)$ no intervalo $[a,~b]$, então a integral definida de $\mathbf {r}$ de $a$ a $b$ é dada por:

$\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (b)-\mathbf {R} (a)$

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j}$ com $f(t)$ e $g(t)$ funções integráveis em $[a,~b]$, então:

$\int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\left(\int _{a}^{b}f(t)dt\right)\mathbf {i} +\left(\int _{a}^{b}g(t)dt\right)\mathbf {j}$.

Vale resultado análogo para $\mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k}$.

Categorias de Funções Vetoriais

Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.

Aplicação

O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.

Ver também

• Campo vectorial
• Parametrização
• Cálculo vectorial

Bibliografia

• STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
• AMARAL, Luis Fernando Coelho, Análise Vetorial, Universidade Federal do Maranhão.

Ligações externas

• «Funções Vetoriais e Curvas no Espaço» 
• Weisstein, Eric W. «Vector Function» (em inglês). MathWorld 
• «Vector-valued functions and their properties (from Lake Tahoe Community College)» (em inglês)