Função densidade

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Em estatística, a função densidade de probabilidade ou simplesmente função de densidade é uma função não negativa utilizada para representar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. A função de densidade pode ser obtida a partir da função distribuição acumulada a partir da operação de derivação (quando esta é derivável).

Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x), então o intervalo infinitesimal [x, x+dx] tem probabilidade f(x) dx. Formalmente, a função densidade de probabilidade (ou fdp), denotada por , de uma variável aleatória contínua X é a função que satisfaz

Em linguagem matemática Em Português
Uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma função não-negativa integrável à Lebesgue tal que a probabilidade no intervalo [a,b] é dada por
[1] A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a um certo x é dada pela integral . Equivale, quando à função distribuição acumulada das variáveis aleatórias discretas.

Diferença entre "função de probabilidade" e "função densidade de probabilidade"[editar | editar código-fonte]

O conceito de "função densidade de probabilidade" é muito semelhante ao conceito de "função de probabilidade", que serve para o caso de variáveis aleatórias discretas. No entanto, é preciso entender bem a diferença entre eles.

Uma variável aleatória discreta tem um número definido de possíveis ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "resultado de um dado" tem apenas 6 possíveis ocorrências: 1,2,3,4,5 e 6. Por isso, a função de probabilidade a ela associada também só pode assumir 6 valores (1/6 cada uma, se o dado não for viciado), que necessariamente somarão 1.

Uma variável aleatória contínua, ao contrário, tem um número infinito de ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "idade de cada empregado de uma empresa" pode assumir infinitos valores, por exemplo 18,1 anos, 18,23 anos, 20,341 anos, 30,3167 anos etc. Por isso, se simplesmente tentarmos calcular como faz uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta, chegaremos ao seguinte[2] :

Portanto,

Ou seja, a probabilidade de a variável aleatória contínua X assumir um determinado valor x é zero. Por isso, a "função densidade de probabilidade" não trabalha com valores pontuais, e sim com intervalos infinitesimais - ela informa a probabilidade de a variável X assumir um valor naquele intervalo.

Funções distribuição de probabilidade[editar | editar código-fonte]

Se uma variável aleatória definida no espaço probabilidade é dada, podemos fazer questões como "Qual a probabilidade de que o valor de é maior do que 2?". Isto é o mesmo que a probabilidade do evento que normalmente se escreve como por abreviação.

Registrando todas estas probabilidades de amplitudes totais da variável aleatória real X gera a distribuição de probabilidade de X. A distribuição de probabilidade "esquece" o espaço probabilidade particular usado para definir X e regista apenas as probabilidades de vários valores de X. Tal distribuição de probabilidade pode ser sempre capturada pela sua função distribuição acumulada

e por vezes também usando a função densidade da probabilidade. Em termos da teoria da medida, nós usamos a variável aleatória X para "transpor" a medida P de Ω para uma medida dF em R. O espaço probabilidade subjacente Ω é um instrumento técnico usado para garantir a existência de variáveis aleatórias, e por vezes para as construir. Na prática, usa-se geralmente o espaço Ω e apenas se coloca uma medida em R que consigna a medida 1 para o todo a linha real, i.e. trabalha-se com distribuições de probabilidade em vez de variáveis aleatórias.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

quaisquer que sejam a e b, a probabilidade de todo o espaço amostral é 1:

Função densidade de probabilidade conjunta[editar | editar código-fonte]

Uma função de em é uma função densidade de probabilidade conjunta, ou fdp conjunta do vetor aleatório bivariado contínuo (X,Y) se, para cada conjunto ,

Uma fdp conjunta é utilizada exatamente como uma univariada, exceto que agora as integrais são duplas nos conjuntos do plano[3] .

Referências

  1. Teoria da probabilidade. Disponível em: <http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0210463_06_cap_04.pdf>. Página 2. Acesso em: 22 de fevereiro de 2011.
  2. CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte-americana. Centage Learning, 2010 ISBN13: 9788522108947, ISBN10: 8522108943. Página 33.
  3. CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte-americana. Centage Learning, 2010 ISBN13: 9788522108947, ISBN10: 8522108943. Página 130
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