Operação elementar (matrizes)

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Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações elementares de linha, enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações elementares de coluna.

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir a matriz a forma escalonada. Elas também são usadas na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz à forma reduzida escalonada.

Operações elementares de linha[editar | editar código-fonte]

Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linha
Uma linha dentro da matriz pode ser alternada com outra linha.
Multiplicação de linha
Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero.
Adição de linha
Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

Se é uma matriz elementar, como descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz , multiplica-se pela matriz elementar à esquerda, . A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.

Transformações de comutação de linha[editar | editar código-fonte]

O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz alterna todos os elementos da matriz na linha com seus equivalentes na linha . A matriz elementar correspondente é obtida trocando a linha e a linha da matriz identidade.

Então é a matriz produzida pela troca da linha e de .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A inversa dessa matriz é ela mesma:
  • Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, . Segue-se que, para qualquer matriz quadrada (do tamanho correto), temos

Transformações de multiplicação de linhas[editar | editar código-fonte]

O próximo tipo de operação de linha em uma matriz multiplica todos os elementos da linha por , em que é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na -ésima posição, onde é .

Então é a matriz produzida a partir da multiplicação da linha por .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A inversa dessa matriz é:
  • A matriz e sua inversa são matrizes diagonais.
  • . Portanto, para uma matriz quadrada (do tamanho correto), temos .

Transformações de adição de linha[editar | editar código-fonte]

O tipo final de operação de linha em uma matriz adiciona a linha multiplicada por um escalar à linha . A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um na posição .

Então é a matriz produzida a partir de adicionando vezes a linha à linha . E é a matriz produzida a partir de adicionando vezes a coluna à coluna .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Essas transformações são uma espécie de transformação de cisalhamento.
  • (matriz inversa).
  • A matriz e sua inversa são matrizes triangulares.
  • . Portanto, para uma matriz quadrada (do tamanho correto) temos .
  • As transformações de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right, ISBN 0-387-98259-0 2nd ed. , Springer-Verlag 
  • Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Linear Algebra and Its Applications, ISBN 978-0-321-28713-7 3rd ed. , Addison Wesley 
  • Meyer, Carl D. (15 de fevereiro de 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-454-8, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), arquivado do original em 31 de outubro de 2009 
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction, ISBN 0-534-99845-3 2nd ed. , Brooks/Cole 
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th ed. , Wiley International 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications 7th ed. , Pearson Prentice Hall