Matriz de cisalhamento

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A Matriz de Cisalhamento ou Matriz de Corte é matematicamente uma matriz elementar que representa a adição do múltiplo de uma linha ou coluna para outra. Esta matriz pode ser derivada, tendo a Matriz identidade e a substituição de alguns elementos a zero com um ou mais valores diferentes de zero (λ).

Abaixo, uma típica matriz de cisalhamento:

O nome Cisalhamento ou Corte refere-se ao fato da matriz representar uma transformação de cisalhamento. Geometricamente, tal transformação leva pares de pontos num espaço linear, que são axialmente separadas ao longo do eixo e cuja linha da matriz contém o elemento de corte, e substitui os pares de pontos cuja separação não é puramente axial, mas tem dois vetores componentes. Assim, o eixo de cisalhamento é sempre um autovetor de S.


Transformações no Plano[editar | editar código-fonte]

T : R2 → R2

Cisalhamento horizontal

T(x, y) = (x+λy, y)

Cisalhamento Vertical T(x, y) = (x, λx+y)


Exemplo de aplicação da Matriz de Cisalhamento em Resistência de Materiais, com os componentes do tensor tensão em uma base ortogonal.

Transformação em 3D[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de utilização da matriz de cisalhamento em 3D é em Resistência dos Materiais no cálculo geral de Tensão normal e Tensão de cisalhamento.



Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se S é uma matriz de cisalhamento n×n, então:

  • S tem posto n e portanto é inversível.
  • 1 é o único autovalor de S, então det S = 1 e consequentemente S = n.
  • O autovetor de S tem dimensão n-1.
  • S é assimétrica.
  • S pode ser feita dentro de uma matriz em bloco pela operação de troca de uma linha por uma coluna.
  • Area, Volume, ou qualquer outra medida de capacidade superior, ou Polígono de ordem superior, são invariantes frente a matriz de cisalhamento de vértices do Polígono.


Exemplo de Aplicação Prática[editar | editar código-fonte]

A matriz de cisalhamento pode ser utilizada para transformar o volume de visão obtido através de uma projeção oblíqua em um paralelepípedo regular.

  • Exemplo:

Considerando o vetor de projeção :, deve-se encontrar a matriz de cisalhamento que alinhe este vetor com o vetor normal ao plano de visão. Esta transformação é representada pela equação abaixo:

Onde S’ representa um cisalhamento no eixo z:

Para obter-se os parâmetros  : pode-se substituir S’ na equação anterior, obtendo as equações a seguir:

Resultando em:


Referências Bibliográficas[editar | editar código-fonte]

  • Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial . Ed. Mc Graw-Hill. 2005.
  • Carvalho, P.C.P. Introdução à geometria espacial”. Coleção Professor de Matemática. SBM, 2005.
  • CROCOMO, M. K. Computação Gráfica - Notas Didáticas – Viewing”. USP – Universidade de São Paulo. ICMC – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. São Carlos. 2010.
  • DOLCE, O. & POMPEO, J. N. Geometria Espacial”. Ed. Atual. 2005.
  • Este artigo inclui texto do artigo Shear matrix publicado com licença GNU em CFD online wiki.