Forma canônica de Jordan

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A forma canônica de Jordan é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições[editar | editar código-fonte]

Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo ou .

Caso Real[editar | editar código-fonte]

Se , escrevamos o polinômio característico de T na forma

,

com se .

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r dada por [1]

,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

onde N é uma matriz nilpotente, pois .

Se são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de dada por

.

Caso Complexo[editar | editar código-fonte]

Se , escrevamos o polinômio característico de T na forma

,

onde é uma raiz complexa de pT, com e se .

Se é uma raiz complexa de , define-se, analogamente à matriz ,

,

onde

e

Teorema (de Jordan)[editar | editar código-fonte]

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se e

,

com se , , então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

,

onde são da forma e .

Se e

,

onde é uma raiz complexa de pT com e se (), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

onde são da forma e e são da forma e .

Corolário[editar | editar código-fonte]

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma (caso complexo) ou (caso real).

Observações[editar | editar código-fonte]

Blocos de Jordan com a mesma raiz[editar | editar código-fonte]

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

,

mas é possivel que quando

Por exemplo[2] , a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

,

em que , e .

Unicidade[editar | editar código-fonte]

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Referências

  1. Triangulação - Forma Canónica de Jordan, site do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-22. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]