Forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições

Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo $\mathbb {R}$$\mathbb{R}$ ou $\mathbb {C}$$\mathbb{C}$.

Caso Real

Se $K=\mathbb {C}$$K={\mathbb {C}}$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}$$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}$,

com $\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$$\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$ se $r\neq s$$r\neq s$.

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r $J(\lambda ;r)$$J(\lambda ;r)$ dada por

$J(\lambda ;r)={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda \end{bmatrix}}_{r\times r}$$J(\lambda ;r)={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda \end{bmatrix}}_{r\times r}$,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

$J(\lambda ;r)=\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{r\times r}+{\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}_{r\times r}=\lambda I+N,$$J(\lambda ;r)=\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{r\times r}+{\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}_{r\times r}=\lambda I+N,$

onde N é uma matriz nilpotente, pois $N^{r}=0$$N^{r}=0$.

Se $B_{1},\ldots ,B_{k}$$B_{1},\ldots ,B_{k}$ são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se $\operatorname {diag} \ (B_{1},\ldots ,B_{k})$$\operatorname {diag} \ (B_{1},\ldots ,B_{k})$ como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de $B_{1},\ldots ,B_{k}$$B_{1},\ldots ,B_{k}$ dada por

${\begin{bmatrix}B_{1}&0&\cdots &0\\0&B_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &B_{k}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}B_{1}&0&\cdots &0\\0&B_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &B_{k}\end{bmatrix}}$.

Caso Complexo

Se $K=\mathbb {R}$$K=\mathbb {R}$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2}))^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2}))^{p_{k}}$$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2}))^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2}))^{p_{k}}$,

onde $\alpha _{r}+i\beta _{r}$$\alpha _{r}+i\beta _{r}$ é uma raiz complexa de p_T, com $\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$$\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$ e $(\alpha _{r},|\beta _{r}|)\neq (\alpha _{s},|\beta _{s}|)$$(\alpha _{r},|\beta _{r}|)\neq (\alpha _{s},|\beta _{s}|)$ se $r\neq s$$r\neq s$.

Se $\alpha +i\beta$$\alpha +i\beta$ é uma raiz complexa de $p_{T}(\lambda )$$p_{T}(\lambda )$, define-se, analogamente à matriz $J(\lambda ;r)$$J(\lambda ;r)$,

$R(\alpha ,\beta ;r)={\begin{bmatrix}A&{\bar {1}}&0&\cdots &0\\0&A&{\bar {1}}&\cdots &0\\0&0&A&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &A\end{bmatrix}}_{n\times n}$$R(\alpha ,\beta ;r)={\begin{bmatrix}A&{\bar {1}}&0&\cdots &0\\0&A&{\bar {1}}&\cdots &0\\0&0&A&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &A\end{bmatrix}}_{n\times n}$,

onde

$A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{bmatrix}}$ e ${\bar {1}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$${\bar {1}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Teorema (de Jordan)

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se $K=\mathbb {C}$$K={\mathbb {C}}$ e

$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}$$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}$,

com $\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$$\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$ se $r\neq s$$r\neq s$, $\lambda _{r}\in \mathbb {C}$$\lambda _{r}\in \mathbb {C}$, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n})$$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n})$,

onde $J_{1},\ldots ,J_{p}$$J_{1},\ldots ,J_{p}$ são da forma $J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N}$$J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N}$ e $\lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}$$\lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}$.

Se $K=\mathbb {R}$$K=\mathbb {R}$ e

$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2})^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2})^{p_{k}}$$p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2})^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2})^{p_{k}}$,

onde $\alpha _{r}+i\beta _{r}$$\alpha _{r}+i\beta _{r}$ é uma raiz complexa de p_T com $\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$$\lambda _{r}\neq \lambda _{s}$ e $(\alpha _{r},\beta _{r})\neq (\alpha _{s},\beta _{s})$$(\alpha _{r},\beta _{r})\neq (\alpha _{s},\beta _{s})$ se $r\neq s$$r\neq s$ ($\beta _{r}>0$$\beta _{r}>0$), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n},R_{1},\ldots ,R_{k}),$$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n},R_{1},\ldots ,R_{k}),$

onde $J_{1},\ldots ,J_{p}$$J_{1},\ldots ,J_{p}$ são da forma $J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N}$$J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N}$ e $\lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}$$\lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}$ e $R_{1},\ldots ,R_{q}$$R_{1},\ldots ,R_{q}$ são da forma $R(\alpha ,\beta ;n),\,n\in \mathbb {N}$$R(\alpha ,\beta ;n),\,n\in \mathbb {N}$ e $(\alpha ,\beta )\in \{(\alpha _{1},\beta _{1}),\ldots ,(\alpha _{k},\beta _{k})\}$$(\alpha ,\beta )\in \{(\alpha _{1},\beta _{1}),\ldots ,(\alpha _{k},\beta _{k})\}$.

Corolário

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma $J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p})$$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p})$ (caso complexo) ou $J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p},R_{1},\ldots ,R_{q})$$J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p},R_{1},\ldots ,R_{q})$ (caso real).

Observações

Blocos de Jordan com a mesma raiz

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

${\begin{bmatrix}J(\lambda _{1};m_{1})&0&\cdots &0\\0&J(\lambda _{2};m_{2})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J(\lambda _{n};m_{n})\end{bmatrix}}\,$${\begin{bmatrix}J(\lambda _{1};m_{1})&0&\cdots &0\\0&J(\lambda _{2};m_{2})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J(\lambda _{n};m_{n})\end{bmatrix}}\,$,

mas é possivel que $\lambda _{s}=\lambda _{r}\,$$\lambda _{s}=\lambda _{r}\,$ quando $s\neq r\,$$s\neq r\,$

Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

${\begin{bmatrix}42&1&0&0\\0&42&0&0\\0&0&42&0\\0&0&0&42\end{bmatrix}}\,$${\begin{bmatrix}42&1&0&0\\0&42&0&0\\0&0&42&0\\0&0&0&42\end{bmatrix}}\,$,

em que $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda _{4}=42\,$$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda _{4}=42\,$, $m_{1}=2\,$$m_{1}=2\,$ e $m_{2}=m_{3}=1\,$$m_{2}=m_{3}=1\,$.

Unicidade

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Bibliografia

• (em inglês) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
• (em inglês) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
• (em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9