Método de Newton–Raphson

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Em análise numérica, o método de Newton (ou Método de Newton–Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrarmos a raiz da função. Em notação matemática, o método de Newton é dado pela seguinte sequência recursiva:

onde é uma aproximação inicial dada, indica a -ésima iteração do algoritmo e é a derivada da função no ponto

Interpretação geométrica do método de Newton[editar | editar código-fonte]

Consideremos o problema de calcular a raiz de uma função conforme a figura ao lado.[1][2][3][4]

As três primeiras iterações do método de Newton.[5]

Queremos calcular em função de sabendo que será a cota no eixo das abcissas interceptado pela reta tangente à curva, originada por

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ) tem inclinação e é dada por

Sabendo que essa reta passa por temos que
Portanto,
De modo geral, temos

Análise de convergência[editar | editar código-fonte]

Devemos ter em mente que, mesmo se a condição estabelecida na introdução for satisfeita, o método de Newton poderá não convergir para a raiz. Seja f(x) uma função e sua derivada diferente de zero, definimos uma função como:[2][3][4]


Consideramos x* uma aproximação da solução x de f(x)=0 tal que f'(x*)≠0 e |x – x*| seja “pequeno”. Expandimos por Série de Taylor em torno de x* e obtemos:


Para a dedução do método de Newton, vamos supor que |x - x*| é pequeno, logo, o termo (x - x*)² será muito menor. Com isso, dizemos que:



Pelo processo iterativo do método do ponto fixo, sabemos que:




Portanto:



Logo:




Considerando (xn - x*) o erro absoluto, obtemos:



Com isso, observamos que o erro é de ordem quadrática e, por isso, a iteração convergirá rapidamente para a raiz da função.

Generalização do método de Newton[editar | editar código-fonte]

Percebemos que o método de Newton é uma poderosa ferramenta para resolvermos equações de uma variável (f(x)=0). Esse método, contudo, pode ser utilizado em problemas mais complexos, como na solução de equações do tipo Ax=b, em que x e b são vetores e A é uma matriz. Queremos, portanto, generalizar o método de Newton para resolvermos um sistema de equações da forma:[2][3][4][6]

Podemos analisar esse sistema de equações na forma vetorial, definindo o vetor F(x) tal que:


Para resolvermos o problema de uma variável (f(x)=0), nós expandíamos a função f(x) em torno de x* por sua Série de Taylor, de modo a obtermos:

sendo x* uma aproximação para a solução de f(x)=0 . De modo equivalente, o problema matricial se resume a resolver a equação F(x)=0, e devemos expandir a função F(x) em torno de x*, sendo x* uma aproximação para a solução de F(x)=0. Efetuando-se essa expansão, obteremos:

Portanto, será necessário definirmos a derivada de F(x). Definimos, então, a Matriz Jacobiana por:



E percebemos que a Matriz Jacobiana, ou o Jacobiano do vetor F(x), é a matriz formada pelas derivadas parciais das componentes de F(x):


Logo, podemos reescrever a expansão por Série de Taylor de F(x) como Também de acordo com o problema de uma variável, tínhamos que o método de Newton era dado pela iteração:


Consequentemente, em problemas envolvendo sistemas de equações, teremos que o método de Newton será dado pela iteração:[6]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  1. Neste exemplo,[5] mostraremos porque a função f deve ser diferenciável em xn, para a satisfazer a condição inicial. Considere a função f(x)=|x-3|-1. Essa função possui uma cúspide em (3,-1); portanto, f não é diferenciável nesse ponto. Analisando o gráfico dessa função, percebemos que x=2 e x=4 são suas raízes. Caso iniciemos o método de Newton com x0=3, o processo iterativo falhará porque a derivada de f em x=3 não é definida.
  2. Neste exemplo,[5] mostraremos porque a função f deve ter derivada não nula em xn. Considere a função f(x)=x2-1. Essa função possui uma reta tangente horizontal em (0,-1); portanto, a derivada de f nesse ponto é nula. Como a reta tangente é horizontal, logo ela nunca interceptará o eixo das abcissas e, assim, o método de Newton falhará, pois ocorrerá uma indeterminação matemática (divisão por zero).
  3. Neste exemplo,[5] mostraremos que mesmo escolhendo-se uma aproximação x0 distante da real raiz da função f, o método de Newton ainda assim poderá convergirá rapidamente para a solução de f(x)=0. Considere a função f(x)=sen(x). Se arbitrarmos x0=10,85 rad, valor relativamente distante da primeira raiz, x=π rad, o método convergirá para essa raiz rapidamente.

Isso mostra que a primeira aproximação da raiz não necessita ser um valor próximo dela. Existe casos em que essa aproximação é distante da raiz e mesmo assim o método converge, conforme mostrado no exemplo acima.

Considerações sobre o método[editar | editar código-fonte]

O método de Newton é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real e, portanto, tem sido estudado e utilizado em diversos ramos da ciência (Matemática, Física, Engenharia), sendo também muito utilizado na resolução de sistemas não lineares. Além disso, esse método tem sido alvo de novos estudos e aprimoramentos. Em 1984, Allan J. Macleod mostrou, num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, que o método iterativo de Newton–Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem.[7]

Um ponto importante a ser observado diz respeito a praticidade do método de Newton. Caso a função f seja complicada, encontrar sua derivada pode ser muito trabalhoso e o método torna-se improdutivo. Nesses casos, o método das secantes é mais produtivo de ser utilizado, porque não exige que a derivada de f seja conhecida.

Referências

  1. Howard Anton; Irl Bivens, Stephen Davis. Cálculo Volume 1. [S.l.]: Editora Bookman, 8° ediçao 
  2. a b c Richard L. Burden; J. Douglas Faires. Análise Numérica. [S.l.]: Editora CENGAGE Learning, 8° ediçao 
  3. a b c Borche, Alejandro. Métodos Numéricos. [S.l.]: Editora Ed. da UFRGS 
  4. a b c Ruggiero, M; Lopes, V. Cálculo Númerico - Aspectos Teóricos e Computacionais. [S.l.]: Editora Pearson 
  5. a b c d «Construção geométrica do Método de Newton–Raphson». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  6. a b «Método de Newton». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  7. A.J. Macleod. «"A generalization of Newton–Raphson"» (em inglês). Int. J. Math. Ed. Sci. Tech., v.15, n.1 January 1984, pages 117-120 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]