Método das secantes

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Em análise numérica, o método das secantes é um algoritmo de busca de raízes que usa uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada vez melhor a raiz de uma função f.

O método[editar | editar código-fonte]

As duas primeiras iterações do método das secantes. A curva vermelha mostra a função f e as linhas azuis são as secantes.

O método das secantes é definido pela relação de recorrência

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).

Como pode ser visto da relação de recorrência, o método das secantes requer dois valores iniciais, x0 e x1, que devem ser preferencialmente escolhidos próximos da raiz.

Derivação do método[editar | editar código-fonte]

Dados xn−1 e xn, construímos uma reta passando pelos pontos (xn−1, f(xn−1)) e (xn, f(xn)), como ilustrado na figura à direita. Note que essa reta é uma secante ou corda do gráfico da função f. Na forma ponto-declividade, ela pode ser definida como

 y - f(x_n) = \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} (x-x_n).

Agora escolhemos xn+1 como zero dessa reta, então xn+1 é escolhido de modo que

 f(x_n) + \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} (x_{n+1}-x_n) = 0.

Resolvendo essa equação, obtém-se a relação de recorrência para o método das secantes.

Convergência[editar | editar código-fonte]

As iterações xn do método das secantes convergem para uma raiz de f, se os valores iniciais x0 e x1 estiverem suficientemente próximas da raiz. A ordem de convergência do método é α, onde

 \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618

é a razão áurea. Em particular, a convergência é superlinear.

Esse resultado só vale sob certas condições técnicas; a saber, f deve ser duas vezes continuamente diferenciável e a raiz em questão deve ser simples (isto é, não deve ser uma raiz múltipla).

Se os valores iniciais não estiverem próximos da raiz, não se pode garantir que o método das secantes convirja.