Divisão por zero

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A função y=1/x. Ao mesmo tempo em que x se aproxima de 0 da direita, y se aproxima do infinito (e vice-versa). Observar que dependendo de que lado percorre-se x, o limite é infinito positivo (vindo da direita) ou infinito negativo (vindo da esquerda).

Na matemática, uma divisão é chamada divisão por zero se o divisor é zero. Tal divisão pode ser formalmente expressada como no qual a é o dividendo. Um valor bem definido para essa expressão depende do contexto matemático. Para a aritmética com números reais, a expressão não possui significado.

Em programação, uma tentativa de dividir um número de ponto flutuante por zero deve resultar no número infinito (positivo ou negativo) de acordo com o padrão IEEE 754 para pontos flutuantes. No entanto, dependendo do ambiente de programação e do tipo de número sendo dividido por zero (como o inteiro, por exemplo), é possível que: seja gerada uma exceção, seja produzida uma mensagem de erro, faça o programa terminar, resulte em infinito positivo ou negativo ou resulte em um valor especial não numérico (NaN).

Interpretação em aritmética elementar[editar | editar código-fonte]

Quando uma divisão é explicada no nível elementar, frequentemente usa-se a descrição da divisão de um conjunto de objetos em partes iguais. Como exemplo, se tem-se dez maçãs, e deseja-se distribuí-las entre cinco pessoas, cada pessoa irá receber = 2 maçãs. Se tem-se dez maçãs e deseja-se distribuir entre zero pessoas, quantas maçãs cada pessoa receberá? Uma tentativa para calcular torna-se sem sentido pois a questão por si própria não possui sentido. Cada "pessoa" não recebe zero, ou dez ou infinitas maçãs, pelo simples fato de não haver pessoas para receber maçãs. Para a aritmética básica, considera-se então que a divisão por zero não possui sentido, é indefinida.

Outra maneira de entender a natureza indefinida da divisão por zero é perceber uma divisão como repetidas subtrações. Para dividir treze por cinco, pode-se subtrair cinco duas vezes, restando três. O dividendo é subtraído até que o resto seja menor que o divisor. Mas, no caso do zero, repetidas subtrações por zero nunca resultarão em um resto menor que o divisor, então a divisão não é definida.

Primeiras tentativas[editar | editar código-fonte]

Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (598668) é o primeiro texto conhecido a tratar o zero como um número e a definir operações envolvendo o zero. O autor falhou, entretanto, em sua tentativa a explicar a divisão por zero: sua definição pode ser facilmente provada a levar a absurdos algébricos. De acordo com Brahmagupta, "um número positivo ou negativo, quando divido por zero, é uma fração com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo é tanto zero ou expresso como uma fração com zero como numerador. Zero dividido por zero é zero."

Em 830, Mahavira tentou sem sucesso corrigir a falha de Brahmagupta em seu livro Ganita Sara Samgraha: "um número permanece inalterado quando dividido por zero."

Bhaskara II tentou resolver o problema ao definir . Essa definição, apesar de fazer sentido, pode levar a paradoxos se não tratadas com cuidado.[1]

Interpretação algébrica[editar | editar código-fonte]

É geralmente considerado entre matemáticos que uma maneira natural de interpretar a divisão por zero é primeiramente definir a divisão em termos de outras operações aritméticas. Nas regras padrão da aritmética de inteiros, racionais, reais e complexos, a divisão por zero é indefinida. A divisão por zero deve ser deixada indefinida em qualquer sistema matemático que obedece os axiomas de um corpo. A razão é que a divisão é definida como a operação inversa da multiplicação, o que significa que o valor de é a solução x da equação sempre que o valor existir e for único. Senão o valor é deixado indefinido.

Para b = 0, a equação bx = a pode ser reescrita como 0x = a ou simplesmente 0 = a. Nesse caso, a equanção bx = a não possui solução se a é diferente de zero, e possui qualquer x como solução se a é igual a 0. Em qualquer caso, não há solução única, então é indefinida.

Falácias[editar | editar código-fonte]

É possível distinguir um caso especial da divisão por zero em um argumento algébrico, levando a provas inválidas tais como 2 = 1 como a seguinte:

Assume-se:

O seguinte deve ser verdadeiro:

Dividindo por zero temos:

Simplificando, resulta-se em :

A falácia é assumir que dividir por zero é uma operação legítima com . Apesar da maioria das pessoas provavelmente assumirem que a prova acima é falaciosa, o mesmo argumento pode ser apresentado de uma forma que torna-se mais difícil encontrar o erro. Por exemplo, se 1 é denotado por , pode ser escondido em e escondido em . A prova acima pode ser apresentada como:

Então:

Dividindo por temos:

E dividindo por temos:

Contra argumentação da prova:

Cria-se paradoxo quando se atribui várias igualdades simultâneas a uma equação.

Fazendo o cálculo de forma individual não se percebe erro lógico ao afirmar que todo número que seja dividido por si resulte em 1, inclusive zero.

Subtrações sucessivas[editar | editar código-fonte]

Toda divisão pode ser interpretada como uma sequência finita de subtrações. E, utilizando o método de subtrações sucessivas, pode-se provar que a divisão por zero é impossível. Esta operação peculiar gera uma sequência infinita de subtrações, isto é, obriga a efetuar infinitas repetições (mais conhecidas na área computacional como laços / loops infinitos).

Passo-a-passo[editar | editar código-fonte]

  1. Subtrair o divididendo pelo divisor;
  2. Caso o quociente obtido seja maior ou igual ao divisor, subtrair o quociente obtido pelo divisor;
  3. Repetir o segundo passo até que o quociente obtido seja menor que o divisor, encerrando o processo e tornando o atual quociente em resto.

Divisão de 15 por 3 (exemplo)[editar | editar código-fonte]

  • 15 - 3 = 12 (1a subtração)
  • 12 - 3 = 9 (2a subtração)
  • 9 - 3 = 6 (3a subtração)
  • 6 - 3 = 3 (4a subtração)
  • 3 - 3 = 0 (5a subtração)

Como a subtração foi realizada sucessivamente 5 vezes, a divisão de 15 por 3 resulta em 5 com resto 0.

Divisão de 39 por 11 (exemplo)[editar | editar código-fonte]

  • 39 - 11 = 28 (1a subtração)
  • 28 - 11 = 17 (2a subtração)
  • 17 - 11 = 6 (3a subtração)

Como a subtração foi realizada sucessivamente 3 vezes, a divisão de 36 por 11 resulta em 3 com resto 6.

Divisão de 1 por 0 (exemplo)[editar | editar código-fonte]

  • 1 - 0 = 1 (1a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (2a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (3a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (4a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (5a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (6a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (7a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (8a subtração)
  • 1 - 0 = 1 (9a subtração)
  • ...

As subtrações continuam infinitamente, portanto é impossível dividir qualquer número não-nulo por zero.

Divisão de 0 por 0 (exemplo)[editar | editar código-fonte]

  • 0 - 0 = 0 (1a subtração)
  • 0 - 0 = 0 (2a subtração)
  • 0 - 0 = 0 (3a subtração)
  • ...

As subtrações continuam infinitamente, porque o critério de encerramento ("até que o quociente obtido seja menor que o divisor") nunca é atingido. O quociente será sempre 0, ou seja, sempre igual ao divisor (0) e nunca menor. Portanto é impossível dividir zero por zero.

Duas possíveis situações[editar | editar código-fonte]

Sabendo que a expressão algébrica a / b = c (a dividido por b é igual a c) equivale à expressão algébrica a = b * c (a é igual a b multiplicado por c), podemos definir as duas possíveis situações encontradas ao tentar dividir algum número por zero.

Qualquer número não-nulo dividido por zero[editar | editar código-fonte]

  • 1 / 0 = c equivale a 1 = 0 * c

Não existe um número c que satisfaça a igualdade, pois qualquer número multiplicado por 0 resultará em 0.

Esta situação é considerada indefinida.

Zero dividido por zero[editar | editar código-fonte]

  • 0 / 0 = c equivale a 0 = 0 * c

Qualquer número c satisfaz a igualdade, pois qualquer número multiplicado por 0 resultará em 0.

Esta situação é considerada indeterminada.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências