Divisor

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Divisores são números inteiros e racionais[1], sendo o dito divisor y diferente de 0 (y0)e o divisor z igualmente (z0)[2] com os quais se pode efetuar uma divisão de números maiores (igualmente inteiros e racionais), tendo como resto e quociente uma quantidade exata.

Exemplo:

  • Extraído de:

Dicionário Aurélio de Língua Portuguesa, Ed. Positiva Matemática Compreensão e Prática.

Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os números primos, que só tem como divisores 1 e o dito primo[3].

Sobre os divisores[editar | editar código-fonte]

  • Existem infinitos números primos[4] e infinitos divisores de números.
  • Para cada número inteiro e racional há um conjunto de divisores que lhe é próprio.
  • Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto matemático.

Como exemplo, pode-se citar o número 22, que pertence ao conjunto de múltiplos de 2 e dos múltiplos de 11 igualmente, ou seja, os divisores de 22 são 2 e 11, além de 1 e 22.

No conjunto dos múltiplos de 11:

No conjunto dos múltiplos de 2:

  • Extraído de:

Matemática, compreensão e prática, Ênio Silveira e Cláudio Marques.

  • Quanto maior o divisor, menor será o resto. É similar a uma regra de três inversamente proporcional, pois, quanto menor o divisor de número qualquer inteiro e racional, maior será o resto.
  • Somente há um número que dividido por qualquer número inteiro e racional tem como resto a mesma quantidade: 0. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em 0;

  • Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se Fatoração[5].
  • Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os números primos[6]. Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de 3, 4, 5 ou 7 tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um número defectivo ou número deficiente que se encontra nesse caso.
  • Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um quadrado perfeito do número x [7]

Exemplo:

Portanto:

  • Os números irracionais não podem ser postos em forma de fração[8][9])[10], logo não possuem nenhum divisor no conjunto dos números reais. Por exemplo o , que é a proporção numérica aproximada (pois é número irracional) oriunda da relação das medidas de perímetro de circunferência e diâmetro.


Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d 0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que (note que isto é o mesmo que escrever )

Exemplo:

(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a , que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:

(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja . Se (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então

Note que há duas situações possíveis para o resto r:
1) r = 0
Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão será igual à expressão , que é o mesmo que escrever simplesmente .
Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r 0
Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão não será igual à expressão .
Nota: podemos escrever . O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: . Assim, . Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:
1) A divisão tem quociente 5 e resto 0. Assim:
O numerador da fração é n = 15;
O denominador da fração é d = 3;
O quociente da divisão é q = 5;
O resto da divisão é r = 0.
Como , escrevemos , ou simplesmente .
Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).


2) A divisão tem quociente 3 e resto 1. Assim:
O numerador da fração é n = 7;
O denominador da fração é d = 2;
O quociente da divisão é q = 3;
O resto da divisão é r = 1.
Como , escrevemos
Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r 0).
Porém, lembre-se de que . Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: e . Como , ambas as expressões e valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever . Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).

Referências

  1. Dicionário Aurélio Ed. Positiva
  2. Matemática Compreensão e Prática, Ênio Silveira e Cláudio Marques
  3. Dicionário Aurélio Ed. Positiva
  4. Wikipédia: Teoria dos números, Seção: Propriedades dos números primos (Teorema de Euclides)
  5. Matemática Didática: www.matematicadidatica.com.br
  6. Wikipédia: Número defectivo
  7. Matemática 7o ano em www.malhatlantica.pt
  8. Wikipédia:Números Irracionais
  9. Matemática Compreensão e Prática Ênio Silveira e Cláudio Marques
  10. Mundo Educação: www.mundoeducacao.com.br
  • Matemática, compreensão e prática, Ênio Silveira e Cláudio Marques
  • Dicionário Aurélio, ed. Positiva