Projeção de um vetor

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Projeção de a sobre b (a1), e a componente de a ortogonal a b (a2).
Quando 90° < θ ≤ 180°, a1 tem sentido oposto em relação a b.

A projeção vetorial de um vetor a sobre um vetor não-nulo b (também conhecida como a componente de a na direção de b) é a projeção ortogonal de a sobre uma linha reta paralela a b. É um vetor paralelo a b, definido como

em que é um escalar, denominado projeção escalar de a sobre b, e é o vetor unitário na direção de b. Por outro lado, a projeção escalar é definida como
em que o operador · indica um produto escalar, |a| é o comprimento de a, e θ é o ângulo entre a e b. A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal negativo se o sentido da projeção é oposto ao sentido de b.

O vetor componente de a perpendicular a b, por vezes também chamado de componente ortogonal de a em relação a b,[1] é a projeção ortogonal de a sobre o plano (ou, em geral, hiperplano) ortogonal a b. Tanto a projeção a1 quanto a componente ortogonal a2 de um vetor a são vetores, e a sua soma é igual a a, o que implica que a componente ortogonal é dada por

Notação[editar | editar código-fonte]

Normalmente, a projeção vetorial é indicada com letras em negrito (por exemplo a1), e a projeção escalar correspondente com letras normais (por exemplo a1). Em alguns casos, especialmente no manuscrito, a projeção vetorial também é indicada utilizando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, ou a1; ver representações de vetores euclidianos para mais detalhes).

A projeção vetorial de a sobre b e a componente ortogonal correspondente, por vezes, são indicados por ab e ab, respectivamente.

Definições em termos do ângulo[editar | editar código-fonte]

Projeção escalar[editar | editar código-fonte]

A projeção escalar de a sobre b é um escalar igual a

em que θ é o ângulo entre a e b.

Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.

Projeção vetorial[editar | editar código-fonte]

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor, cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b e que forma com b um ângulo de 0 ou de 180 graus. Ou seja, ela é definida como

em que é a projeção escalar correspondente, como definida acima, e é o vetor unitário com o mesmo sentido de b:

Componente ortogonal[editar | editar código-fonte]

Por definição, a componente ortogonal de a em relação a b é

Assim,

Definições em termos dos vetores[editar | editar código-fonte]

Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de e , pela seguinte propriedade do produto escalar :

Projeção escalar[editar | editar código-fonte]

Usando a propriedade anterior do produto escalar, a definição de projeção escalar se torna

Projeção vetorial[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b se torna

o que é equivalente tanto a
quanto a[2]

Computacionalmente, esta última fórmula é mais eficiente do que a anterior. Ambas requerem dois produtos escalares e, eventualmente, a multiplicação de um escalar por um vetor, mas a primeira requer ainda uma raiz quadrada e a divisão de um vetor por um escalar,[3] enquanto que a última, além dos produtos, requer apenas a divisão de um escalar por um escalar.

Componente ortogonal[editar | editar código-fonte]

Por definição,

Assim,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se 0° ≤ θ ≤ 90°, como no presente caso, a projeção escalar de a sobre b coincide com o comprimento do vetor da projeção vetorial.

Projeção escalar[editar | editar código-fonte]

A projeção escalar de a sobre b é um escalar que tem sinal negativo se 90 < θ ≤ 180 graus. Ele coincide com o comprimento |c| da projeção vetorial se o ângulo for menor do que 90°. Mais exatamente:

  • a1 = |a1| se 0 ≤ θ ≤ 90 graus,
  • a1 = −|a1| se 90 < θ ≤ 180 graus.

Projeção vetorial[editar | editar código-fonte]

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a1 que ou é nulo ou é paralelo a b. Mais exatamente:

  • a1 = 0 se θ = 90°,
  • a1 e b têm o mesmo sentido se 0 ≤ θ < 90 graus,
  • a1 e b têm sentidos opostos se 90 < θ ≤ 180 graus.

Componente ortogonal[editar | editar código-fonte]

A componente ortogonal de a sobre b é um vetor a2 que ou é nulo ou é ortogonal a b. Mais exatamente:

  • a2 = 0 se θ = 0 graus ou θ = 180 graus,
  • a2 é ortogonal a b se 0 < θ < 180 graus,

Representação matricial[editar | editar código-fonte]

A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor sobre o vetor unitário a = (ax, ay, az), bastaria multiplicá-lo pela seguinte matriz de projeção:

Usos[editar | editar código-fonte]

A projeção vetorial é uma operação importante no processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para bases de espaços vetoriais. Ele também é usado no teorema da separação de eixos para detectar se duas formas convexas se intersectam.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Uma vez que as noções de comprimento de vetor e de ângulo entre os vetores podem ser generalizadas para espaços com produto interno de dimensões arbitrárias, isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor sobre outro, e componente ortogonal de um vetor em relação a outro. Em alguns casos, o produto interno coincide com o ponto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e de componente ortogonal.

Para um espaço com produto interno tridimensional, as noções de projeção de um vetor sobre outro e componente ortogonal em relação a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor sobre um plano, e de componente ortogonal de um vetor em relação a um plano.[4] A projeção de um vetor sobre um plano é a sua projeção ortogonal sobre aquele plano. A componente ortogonal de um vetor em relação a um plano é a sua projeção ortogonal sobre uma reta que é perpendicular a esse plano. Ambas são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal a ele. Para um vetor e um plano dados, a soma de projeção sobre o plano com a componente ortogonal a ele é igual ao vetor original.

Da mesma forma, para espaços com produto interno espaços com dimensão maior do que três, as noções de projeção sobre um vetor e de componente ortogonal a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção sobre um hiperplano, e componente ortogonal a um hiperplano.

Na álgebra geométrica, elas também podem ser generalizadas para as noções de projeção e componente ortogonal de um multivetor geral sobre/em relação a qualquer k-lâmina inversível.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Perwass, G. (2009). Geometric Algebra With Applications in Engineering. [S.l.: s.n.] p. 83 
  2. «Dot Products and Projections» 
  3. The second dot product, the square root and the division are not shown, but they are needed to compute; (for more details, see the definition of Euclidean norm).
  4. M.J. Baker, 2012.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]