Hiperplano

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Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em \chi (por exemplo, \chi= \mathbb{R}^N) um conjunto de elementos tais que

H= \left [ x \in \chi : p^T \cdot x = b \right ]

, sendo que p é o vetor normal de H, é não-nulo e também percence a \chi, e b pertence ao conjunto dos números reais. 1

Um hiperplano é um espaço vetorial se b = 0

Hiperplano nos números reais[editar | editar código-fonte]

Um hiperplano em R¹ é calculado tendo as coordenadas do ponto, em R² tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo x) ou tanto como vetorial. Em R³ é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de x, y e z, respectivamente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

P = (x_o,y_o,z_o)
P = (1,0,3)

r: x = x_o + at                        vetor diretor (a,b,c)
   y = y_o + bt                        ponto arbitrário (x_o,y_o,z_o)
   z = z_o + ct
r: x = 2 + 3t
   y = 3 + 4t
   z = 2t
O ponto escolhido no exemplo foi P = (2,3,0) e o vetor foi v = (3,4,2)

ax + by + cz + d = 0 vetor normal = (a,b,c) 2x + 3y - z = 15 Vetor normal ao plano v=(2,3,-1).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Um hiperplano em um espaço de n dimensões é um conjunto plano com dimensão "n-1".
  • Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins1
  • Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:
a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b \,\!

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b PALHARES, Reinaldo M. Fund. Controle Robusto via Otimização – Bloco 2. Disponível em: <http://www.cpdee.ufmg.br/~palhares/bloco2_ftcr.pdf>. Acesso em: 30 de junho de 2011.
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