Retas paralelas

Ilustração da Proposição 27 de Euclides: ângulos alternos iguais implicam paralelismo.

Em geometria euclidiana, duas retas distintas pertencentes a um mesmo plano são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum. O símbolo utilizado para indicar paralelismo é $\parallel$. Por exemplo, a notação $r\parallel s$ significa que a reta $r$ é paralela à reta $s$.

A noção de retas paralelas é uma das ideias fundamentais da geometria e serve de base para o estudo de ângulos, polígonos, semelhança de triângulos e para o desenvolvimento da geometria analítica.

Definição e posições relativas

Em um plano, duas retas podem assumir três posições relativas:

• Concorrentes: interceptam-se em um único ponto.
• Paralelas distintas: não possuem nenhum ponto em comum.
• Coincidentes: possuem todos os pontos em comum (também chamadas de *paralelas em sentido amplo*, pois compartilham a mesma direção).

A definição clássica de retas paralelas, atribuída a Euclides, afirma que são retas de um mesmo plano que, prolongadas indefinidamente em ambos os sentidos, jamais se encontram.

No espaço tridimensional, duas retas são paralelas se são coplanares e não se interceptam. Retas que não são coplanares e também não se cruzam são chamadas de retas reversas.

Condições de paralelismo

Por ângulos formados com uma transversal

Retas paralelas cortadas por uma transversal.

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta, chamada transversal, formam-se oito ângulos que guardam relações importantes. As principais propriedades são:

• Ângulos correspondentes: são congruentes (têm a mesma medida).
• Ângulos alternos internos: são congruentes.
• Ângulos alternos externos: são congruentes.
• Ângulos colaterais internos: são suplementares (soma igual a 180°).
• Ângulos colaterais externos: são suplementares.

Reciprocamente, se uma transversal determina ângulos alternos (ou correspondentes) congruentes, então as retas são paralelas. Este fato é conhecido como a Proposição 27 dos Elementos de Euclides e fornece um critério prático para verificar o paralelismo.

Por distância constante

Em um plano euclidiano, duas retas distintas são paralelas se, e somente se, a distância entre elas é constante ao longo de toda a sua extensão. Esta propriedade é muito utilizada em desenho técnico e construções geométricas.

Pelo quinto postulado

Na formulação clássica da geometria euclidiana, o postulado das paralelas (ou quinto postulado) garante que, por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela à reta dada. Este postulado é a base de toda a geometria euclidiana plana e a negação dele levou, no século XIX, ao desenvolvimento das geometrias não euclidianas.

Geometria analítica

Em geometria analítica, duas retas no plano cartesiano podem ser representadas por suas equações reduzidas:

• $r:y=ax+b$
• $s:y=a'x+b'$

As retas serão paralelas se e somente se seus coeficientes angulares (também chamados de declividades) forem iguais, isto é, $a=a'$.

Caso $a\neq a'$, as retas são concorrentes. Um caso particular ocorre quando, além de terem coeficientes angulares iguais, também possuem o mesmo coeficiente linear ($b=b'$); nesse caso, as retas são coincidentes (representam a mesma reta).

Para retas na forma geral $Ax+By+C=0$, duas retas são paralelas se os coeficientes de $x$ e $y$ forem proporcionais, mas os termos independentes não.

Feixe de retas paralelas

Feixe de retas paralelas.

Um feixe de retas paralelas é o conjunto de todas as retas de um plano que são paralelas a uma reta dada. Em outras palavras, é a classe de equivalência de retas que compartilham a mesma direção.

Em geometria analítica, o feixe de retas paralelas a uma reta de equação $y=ax+b$ é descrito por $y=ax+k$, onde $k$ é um parâmetro real que varia para cada reta do feixe.

Uma aplicação importante do conceito de feixe é o teorema de Tales: um feixe de retas paralelas intersectado por duas transversais determina segmentos proporcionais sobre estas transversais.

Exemplos

• Em um retângulo, os lados opostos são segmentos de retas paralelas.
• Em uma folha de papel pautada, as linhas horizontais são retas paralelas entre si.
• Os trilhos de uma ferrovia retilínea constituem um exemplo físico de retas paralelas (desconsiderando a curvatura da Terra).
• No plano cartesiano, as retas $y=2x+1$ e $y=2x-3$ são paralelas, pois ambas têm coeficiente angular $a=2$.

Aplicações

O conceito de retas paralelas é amplamente utilizado em diversas áreas:

• Desenho geométrico e técnico: construções com régua e compasso frequentemente dependem do traçado de paralelas.
• Arquitetura e engenharia civil: o alinhamento de paredes, vigas e estruturas é baseado no paralelismo para garantir estabilidade e estética.
• Navegação e cartografia: as linhas de latitude são paralelas entre si, formando círculos menores ao redor da Terra.
• Óptica: em espelhos planos e lentes, o comportamento dos raios de luz paralelos é fundamental para a formação de imagens.
• Computação gráfica: algoritmos de renderização e geometria computacional utilizam testes de paralelismo para detectar interseções e gerar projeções.

Ver também

• Ângulo
• Retas concorrentes
• Retas reversas
• Perpendicularidade
• Teorema de Tales
• Geometria analítica
• Postulado das paralelas

Bibliografia

• Putnoki, José Carlos - *Elementos de Geometria e desenho geométrico*. Vol. 1. Ed. Scipione, São Paulo, 1989.
• Carvalho, Benjamin - *Desenho Geométrico*. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988.
• Giongo, Affonso Rocha - *Curso de Desenho Geométrico*. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - *Desenho Geométrico, construções com régua e compasso*. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - *Desenho Geométrico*. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Parallel Lines». MathWorld (em inglês)