Teorema do confronto

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O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)[editar | editar código-fonte]

Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:

Então, resulta destas condições que:


Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)[editar | editar código-fonte]

Sejam , e sucessões de números reais tais que:

Então, resulta destas condições que:

Para finito, a sucessão diz-se convergente (para ).

Exemplo (com )[editar | editar código-fonte]

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).

Repare que a função está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

e que

  • ,

Conclui-se que o comportamento de à medida que traduz-se analiticamente por:

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável (nesse caso, ).