Teorema de Heine-Borel

Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em $\mathbb {R} ^{n}\,$ um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

Discussão

Um conjunto $K\,$ é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se $O_{\lambda }\,$ são conjuntos abertos indexados por um índice $\lambda \in I\,$ e:

$K\subseteq \bigcup _{\lambda \in I}O_{\lambda }\,$

Então existe uma família finita $\left\{O_{\lambda _{n}}\right\}_{n=1}^{N}\,$ que cobre $K\,$:

$K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}O_{\lambda _{n}}\,$

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto $F\,$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F\,$ converge para um ponto de $F\,$, ou seja:

$x_{n}\in F{\hbox{ e }}x_{n}\to x\,$, então: $x\in F\,$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora dele

Mostraremos que se $K$ é um conjunto compacto e $x^{*}\notin K$ então existe um número $\delta >0$, tal que:

$|x^{*}-y|\geq \delta ,\forall y\in K$

Para tal, defina:

$r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}$

É claro que $r(y)>0\,$ para todo ponto $y\,$ em $K\,$.

Agora construa os abertos:

$O_{y}=B(y,r(y)),\forall y\in K$, ou seja, a bola de centro y e raio $r(y)\,$

Eles formam uma cobertura para $K$:

$K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\subseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}$

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in K\,$ tais que:

$K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}$

Por construção, os abertos $O_{y}\,$ são disjuntos das bolas centradas em $y^{*}\,$ de raio $r(y)\,$:

$O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset$

Defina:

$\delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,$

temos:

$O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n$

Tomando a união, temos:

$K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset$

Pela definição da bola $B(x^{*},\delta )\,$, temos que todo ponto do conjunto $K\,$ está a uma distância não inferior a $\delta$, o que completa a demonstração.

Compacto implica fechado

Seja $K\,$ um conjunto compacto e seja $K^{c}\,$ seu complementar. O lema anterior mostra que $K^{c}\,$ contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitado

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

• $|x_{n+1}|>|x_{n}|\,$
• $|x_{n}|\to \infty \,$

Construa a cobertura:

$O_{n}=B(0,|x_{n}|)\,$

A união dos $O_{n}\,$ cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência $x_{n}$.

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compacto

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto $K\,$ fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

• $K\subseteq [a_{1}^{1},b_{1}^{1}]\times [a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times \ldots \times [a_{1}^{n},b_{1}^{n}]$

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter $2^{n}\,$ hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de $K\,$ com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

Aplicação

A forma com que se foi apresentado aqui os conjuntos compactos, podemos fazer uma ilustração com um importante resultado utilizado na Análise: funções contínuas levam conjuntos compactos em conjuntos compactos. De modo geral, esta propriedade vale para quaisquer espaços topológicos.

A seguir apresentaremos uma versão desse teorema para a análise real, considerando os conjuntos em $R$. O resultado que será apresentado seguirá de sua respectiva demonstração e vale lembrar que em outros contextos (ou seja, considerando $X$ em alguma outra topologia que não seja $R$ a demonstração seguirá da mesma forma já que usamos resultados que valem de mogo geral.

Teorema: Considere $f$ uma função contínua de $R$ em $R$. Sendo $X\subset R$ compacto, então $f(X)$ é compacto.

Demonstração: Dada uma cobertura qualquer de abertos para $f(X)$ de forma que $f(X)\subset \bigcup _{i\in \vartriangle }U_{i}$ e onde cada $U_{i}$ é aberto. Daí,

$X\subset f^{-1}{\Bigl (}\bigcup _{i\in \vartriangle }U_{i}{\Bigl )}\Rightarrow X\subset \bigcup _{i\in \vartriangle }f^{-1}(U_{i})$

Como $U_{i}$ é aberto e $f$ é contínua então $f^{-1}(U_{i})$ é aberto para todo $i$. Além disso, já que $X$ é compacto, então podemos extrair uma subcobertura finita de abertos da qual temos pelo Teorema de Borel-Lebesgue. Daí, existe $k\in N$ de modo que

$X\subset \bigcup _{i=1}^{k}f^{-1}(U_{i})\Rightarrow f(X)\subset \bigcup _{i=1}^{k}U_{i}$

Ou seja, dada uma cobertura qualquer de abertos, conseguimos uma cobertura finita para $f(X)$. Logo este conjunto é compacto.

Referências

• MILIOLI, SIMONE DA LUZ. Conjuntos Compactos. 2000, UFSC. Disponível em<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97155/Simone_Milioli_da_Luz.PDF?sequence=1>