Teorema de Heine-Borel

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Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

Discussão[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se são conjuntos abertos indexados por um índice e:

Então existe uma família finita que cobre :

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto é dito fechado se toda sequência convergente contida em converge para um ponto de , ou seja:

, então:

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora dele[editar | editar código-fonte]

Mostraremos que se é um conjunto compacto e então existe um número , tal que:

Para tal, defina:

É claro que para todo ponto em .

Agora construa os abertos:

, ou seja, a bola de centro y e raio

Eles formam uma cobertura para :

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos tais que:

Por construção, os abertos são disjuntos das bolas centradas em de raio :

Defina:

temos:

Tomando a união, temos:

Pela definição da bola , temos que todo ponto do conjunto está a uma distância não inferior a , o que completa a demonstração.

Compacto implica fechado[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto compacto e seja seu complementar. O lema anterior mostra que contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitado[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

Construa a cobertura:

A união dos cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência .

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compacto[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A forma com que se foi apresentado aqui os conjuntos compactos, podemos fazer uma ilustração com um importante resultado utilizado na Análise: funções contínuas levam conjuntos compactos em conjuntos compactos. De modo geral, esta propriedade vale para quaisquer espaços topológicos.

A seguir apresentaremos uma versão desse teorema para a análise real, considerando os conjuntos em . O resultado que será apresentado seguirá de sua respectiva demonstração e vale lembrar que em outros contextos (ou seja, considerando em alguma outra topologia que não seja a demonstração seguirá da mesma forma já que usamos resultados que valem de mogo geral.

Teorema: Considere uma função contínua de em . Sendo compacto, então é compacto.[editar | editar código-fonte]

Demonstração: Dada uma cobertura qualquer de abertos para de forma que e onde cada é aberto. Daí,

Como é aberto e é contínua então é aberto para todo . Além disso, já que é compacto, então podemos extrair uma subcobertura finita de abertos da qual temos pelo Teorema de Borel-Lebesgue. Daí, existe de modo que

Ou seja, dada uma cobertura qualquer de abertos, conseguimos uma cobertura finita para . Logo este conjunto é compacto.

Referências[editar | editar código-fonte]