Limite

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Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito $(+\infty )$. Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Limite de uma sequência

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja $x_{1},x_{2},\ldots$ uma sequência de números reais. A expressão:

$$\lim x_{i}=L$$

significa que, para índices ${\textstyle i}$ suficientemente grandes, os termos ${\textstyle x_{i}}$ da sequência estão arbitrariamente próximos do valor ${\textstyle L.}$ Neste caso, dizemos que o limite da sequência é ${\textstyle L.}$

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de ${\textstyle L}$ os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice ${\textstyle i}$, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de ${\textstyle L}$ quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de ${\textstyle L}$ (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto ${\textstyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$ com ${\textstyle \epsilon >0}$, o desafiado deve exibir um número natural $N$ tal que ${\textstyle \forall i}$ com ${\textstyle i>N}$ tem-se que ${\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

$$\forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon$$

Limite de uma função

Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que ${\textstyle f(x)}$ é uma função real e que ${\textstyle c}$ é um número real. A expressão:

$$\lim _{x\to c}f(x)=L$$

significa que ${\textstyle f(x)}$ se aproxima tanto de ${\textstyle L}$ quanto quisermos, quando se toma ${\textstyle x}$ suficientemente próximo de ${\textstyle c}$. Quando tal acontece dizemos que o limite de ${\textstyle f(x)}$, à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle c}$, é ${\textstyle L}$.

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que ${\textstyle f(c)=L}$, nem sequer que ${\textstyle f(x)}$ esteja definida em ${\textstyle c}$. Agora, no caso de ${\textstyle f(c)}$ existir (estar definido) e

$$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$$

diz-se que ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle c}$.

Exemplos

Consideremos

$$f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$$

à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$, i.e busquemos calcular

$$\lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}$$

Neste caso, ${\textstyle f(x)}$ está definida em ${\textstyle 2}$ e é igual ao seu limite: ${\textstyle 0,\!4,}$ vejamos:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\rightarrow$ 0,4 $\leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

À medida que ${\textstyle x}$ aproxima-se de ${\textstyle 2}$, ${\textstyle f(x)}$ aproxima-se de ${\textstyle 0,\!4}$ e consequentemente temos

$$\lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4$$

Ou seja, ${\textstyle f(x)}$ é contínua no ponto ${\textstyle 2}$.

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):

$$g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.$$

O limite de ${\textstyle g(x)}$ à medida que ${\textstyle x}$ se aproxima de ${\textstyle 2}$ é ${\textstyle 0,\!4}$ (tal como no exemplo acima), mas

$$g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)$$

e consequentemente ${\textstyle g(x)}$ não é contínua em ${\textstyle x=2}$.

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua:

$$h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$$

Apesar de ${\textstyle h(x)}$ não estar definida em ${\textstyle x=1}$, pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que

$$\lim _{x\to 1}h(x)=2$$

h(0,9)	h(0,99)	h(0,999)	h(1.0)	h(1,001)	h(1,01)	h(1,1)
1,95	1,99	1,999	$\rightarrow$ não está definido $\leftarrow$	2,001	2,010	2,10

Observa-se que ${\textstyle x}$ pode ser tomado tão próximo de ${\textstyle 1}$ quanto quisermos, sem no entanto ser igual a ${\textstyle 1}$, donde infere-se que o limite de ${\textstyle f(x)}$ é ${\textstyle 2}$.

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

Sejam $I\subset \mathbb {R}$ um intervalo de números reais, $a\in I$ e $f:I-\{a\}\to \mathbb {R}$ uma função real definida em $I-\{a\}.$ Escrevemos

$$A=\lim _{x\to a}f(x)$$

quando para qualquer que seja $\varepsilon >0$ existe um $\delta >0$ tal que para todo $x\in I,$ satisfazendo $0<|x-a|<\delta ,$ vale $|f(x)-A|<\varepsilon$. Ou, usando a notação simbólica:

$$A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

Exemplos de provas de limites

Exemplo 1

$\lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7$ Supondo um $\epsilon >0$

$|(3x+1)-7|<\epsilon$

$|3x-6|<\epsilon$

Dividindo por 3 em ambos os lados:

$|x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}$

O que prova o limite com $\delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0$

Exemplo 2

$\lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2$

Supondo um $\epsilon >0$

$|1+x-2|<\epsilon$

$|x-1|<\epsilon$

E isso completa a prova com $\delta =\epsilon >0$

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1=1,$ ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

---

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos reais, calcular o limite da função $f$ quando $x\to 1.$ Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $|x-a|,$ não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:

Seja $f$ uma função do tipo:

$$D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$

$$x\longmapsto f(x)=z$$

Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

Em que $d(x,a)=\|x-a\|$ é a função distância.

Exemplo

Uma função do tipo:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$

$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=z$$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$

$$(x,y)\longmapsto f(x,y)=xy$$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L$$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos $yy,$ ou seja,

$$\lim _{x\to 0}f(x,0)=L$$

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos $xx,$ ou seja,

$$\lim _{y\to 0}f(0,y)=L$$

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$$\lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0$$

Ou seja, provar que

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon$$

Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $\epsilon .$

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$$

$$|xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}$$

Se escolhermos $\delta ={\sqrt {\epsilon }},$ então, pela segunda desigualdade, $|xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,$ o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$$

$$(x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}$$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$$x=\left(\cos \alpha \right)t$$

$$y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t$$

a função toma a forma

$$f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}$$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também

• Limite de uma função
• Lista de limites
• Função contínua