Cálculo |
---|
|
|
Cálculo integral
Definições
Integração por
|
|
|
|
|
|
A regra de L'Hôpital, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.
Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo
ou
. A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Sejam
e
funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos
, com
.
Se
ou
Então, se
,
com
ou
ou
:
Com
,
,
,
ou
.
É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente
ou
ou
, noutro caso nada se pode concluir.
A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como



aplicando a regra de L'Hôpital:



Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:




derivando:



Alguns exemplos podem ser fornecidos.
Aplicando a regra de l'Hôpital:
A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:
Aplicando a regra
A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.
Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que
, e que
. Então

Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Marquês, mas sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.