Regra de l'Hôpital

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo diferencial Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Regras de derivação Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Contour integral Integração por partes discs cylindrical shells substitution substituição trigonométrica Frações parciais changing order reduction formulae
Série Geométrica Arithmetico-geometric Harmônica Alternating Potências Binomial Taylor Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Limit comparison Série alternada Cauchy condensation Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Gradient theorem Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Directional derivative
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geometric Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ${\frac {0}{0}}$${\frac {0}{0}}$ ou ${\frac {\,\!\infty }{\,\!\infty }}$${\frac {\,\!\infty }{\,\!\infty }}$.

História

Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Marquês e sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Enunciado

Sejam $f$$f$ e $g$$g$ funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos $I$$I$, com $g'(x)\neq 0,\;\forall x\in I$$g'(x)\neq 0,\;\forall x\in I$.

Se $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}g(x)=0$$\lim _{{x\to p}}f(x)=\lim _{{x\to p}}g(x)=0$    ou    $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}g(x)=\infty$$\lim _{{x\to p}}f(x)=\lim _{{x\to p}}g(x)=\infty$

Então, se $\lim _{x\to p}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lambda$$\lim _{{x\to p}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lambda$,

com $\lambda \in \mathbb {R}$$\lambda \in {\mathbb {R}}$ ou $\lambda =+\infty$$\lambda =+\infty$ ou $\lambda =-\infty$$\lambda =-\infty$:

$\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to p}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$$\lim _{{x\to p}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{{x\to p}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Com $p=c$$p=c$, $p=c^{+}$$p=c^{+}$, $p=c^{-}$$p=c^{-}$, $p=+\infty$$p=+\infty$ ou $p=-\infty$$p=-\infty$.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência) e que $\lambda$$\lambda$ tem de existir (i.e: se o limite do quociente das derivadas não existir, nada se pode concluir).

Aplicações

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2x}{1}}=\lim _{x\to 1}2x=2$$\lim _{{x\to 1}}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{{x\to 1}}{\frac {2x}{1}}=\lim _{{x\to 1}}2x=2$

$\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {e^{x}}{1}}=\lim _{x\to \,\!\infty }e^{x}=\,\!\infty$$\lim _{{x\to \,\!\infty }}{\frac {e^{x}}{x}}=\lim _{{x\to \,\!\infty }}{\frac {e^{x}}{1}}=\lim _{{x\to \,\!\infty }}e^{x}=\,\!\infty$

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

$y=\lim _{x\to \,\!\infty }x^{\frac {1}{x}}$$y=\lim _{{x\to \,\!\infty }}x^{{{\frac {1}{x}}}}$

$ln(y)=ln\left(\lim _{x\to \,\!\infty }x^{\frac {1}{x}}\right)$$ln(y)=ln\left(\lim _{{x\to \,\!\infty }}x^{{{\frac {1}{x}}}}\right)$

$ln(y)=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {ln(x)}{x}}$$ln(y)=\lim _{{x\to \,\!\infty }}{\frac {ln(x)}{x}}$

aplicando a regra de L'Hôpital:

$ln(y)=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {\frac {1}{x}}{1}}=0$$ln(y)=\lim _{{x\to \,\!\infty }}{\frac {{\frac {1}{x}}}{1}}=0$

$y=e^{0}\,\!$$y=e^{0}\,\!$

$y=1\,\!$$y=1\,\!$

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

$k=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$$k=\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$ln(k)=ln\left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)$$ln(k)=ln\left(\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$$ln(k)=\lim _{{n\to \infty }}n\cdot ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {1}{n}}}$$ln(k)=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}{{\frac {1}{n}}}}$

derivando...

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}}$$ln(k)=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}}$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}=1$$ln(k)=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}=1$

$k=e\,\!$$k=e\,\!$

Exemplo

Alguns exemplos podem ser fornecidos

$\lim _{x\to 0}{\frac {tg(x)}{x}}={\frac {0}{0}}$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {tg(x)}{x}}={\frac {0}{0}}$

Aplicando a regra de l'Hôpital

$\lim _{x\to 0}{\frac {tg(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(tg(x))'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}{\frac {sec^{2}(x)}{1}}=1$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {tg(x)}{x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {(tg(x))'}{(x)'}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {sec^{2}(x)}{1}}=1$

Exemplo 2

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{x}}={\frac {0}{0}}$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {sen(x)}{x}}={\frac {0}{0}}$

Aplicando a regra

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(sen(x))'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}{\frac {cos(x)}{1}}=1$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {sen(x)}{x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {(sen(x))'}{(x)'}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {cos(x)}{1}}=1$

Demonstração

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que $f(c)=g(c)=0\,$$f(c)=g(c)=0\,$, e que $g'(c)\neq 0$$g'(c)\neq 0$. Então

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$$\lim _{{x\to c}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{{x\to c}}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=\lim _{{x\to c}}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim _{{x\to c}}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim _{{x\to c}}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{{x\to c}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Ligações externas

• Fórum de matemática para dúvidas sobre a Regra de L'Hôpital