Regra de l'Hôpital

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A regra de L'Hôpital, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.

Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ou . A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pela derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Sejam e funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos , com .

Se    ou   

Então, se ,

com ou ou :

Com , , , ou .

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente ou ou , noutro caso nada se pode concluir.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

aplicando a regra de L'Hôpital:

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

derivando:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos podem ser fornecidos.

Aplicando a regra de l'Hôpital:

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

Aplicando a regra

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Caso especial[editar | editar código-fonte]

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que , e que . Então

História[editar | editar código-fonte]

Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao Marquês, mas sim a Johann Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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