Regra de l'Hôpital

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Contour integral Integração por partes discs cylindrical shells substitution substituição trigonométrica Frações parciais changing order reduction formulae
Série Geométrica Arithmetico-geometric Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Gradient theorem Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Directional derivative
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geometric Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Em cálculo, a regra de L'Hôpital é um teorema que fornece uma técnica para avaliar limites de formas indeterminadas. A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ${\frac {0}{0}}$ ou ${\frac {\,\!\infty }{\,\!\infty }}$.

A regra de L'Hôpital foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.

História

Guillaume de l'Hôpital publicou esta regra em seu livro de 1696 Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (tradução literal: Análise do Infinitamente Pequeno para o Entendimento de Linhas Curvas), o primeiro livro sobre cálculo diferencial. No entanto, acredita-se que a regra foi descoberta pelo matemático suíço Johann Bernoulli. Posteriomente foi-se descoberto que a regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli.

Demonstração

Caso especial

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que $f(c)=g(c)=0\,$, e que $g'(c)\neq 0$. Então

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Enunciado

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos $I$, com $g'(x)\neq 0,\;\forall x\in I$.

Se $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}g(x)=0$ ou $\lim _{x\to p}f(x)=\lim _{x\to p}g(x)=\infty$

Então, se $\lim _{x\to p}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lambda$,

com $\lambda \in \mathbb {R}$ ou $\lambda =+\infty$ ou $\lambda =-\infty$:

$\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to p}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Com $p=c$, $p=c^{+}$, $p=c^{-}$, $p=+\infty$ ou $p=-\infty$.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente $\lambda \in \mathbb {R}$ ou $\lambda =+\infty$ ou $\lambda =-\infty$, noutro caso nada se pode concluir.

Aplicações

A regra pode ser aplicada em exemplos como na expressão inicial abaixo, no qual um limite com $x$ tendendo à $1$, resultará num denominador $1-1$, resultando em zero. A regra de L'Hôpital tornará o denominador $1$, removendo a indeterminação.

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x^{2}-1)'}{(x-1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2x}{1}}=\lim _{x\to 1}2x=2*1=2$

Já na expressão inicial abaixo, com $x$ tendendo à $\infty$, o denominador será infinito, uma indeterminação. A regra de L'Hôpital também tornará o denominador $1$, removendo a indeterminação.

$\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {(e^{x})'}{(x)'}}=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {e^{x}}{1}}=\lim _{x\to \,\!\infty }e^{x}=\lim _{x\to \,\!\infty }e^{\infty }=\,\!\infty$

Algumas aplicações da regra de L'Hôpital necessitam de manipulação algébrica para se tornar uma fração para que possam ser usadas.

Na expressão abaixo, com o limite fundamental, precisa-se manipular o expoente ${\frac {1}{x}}$ usando propriedades do logaritmo natural para transformar a expressão numa fração.

$y=\lim _{x\to \,\!\infty }x^{\frac {1}{x}}$

$ln(y)=ln\left(\lim _{x\to \,\!\infty }x^{\frac {1}{x}}\right)$

$ln(y)=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {ln(x)}{x}}$

aplicando a regra de L'Hôpital:

$ln(y)=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {(ln(x))'}{(x)'}}=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {\frac {1}{x}}{1}}=\lim _{x\to \,\!\infty }{\frac {1}{x}}={\frac {1}{\infty }}\,\!$

$ln(y)=0$

$e^{ln(y)}=e^{0}$

$y=e^{0}\,\!$

$y=1\,\!$

O mesmo pode ser usado no limite fundamental, para manipular o expoente $n$.

$k=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$ln(k)=ln\left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {ln\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {1}{n}}}$

Com a manipulação, é possível aplicar a regra para remover a indeterminação:

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\left({\frac {-1}{n^{2}}}\right)}}$

$ln(k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}=1$

$k=e\,\!$

Exemplos

Alguns exemplos podem ser fornecidos.

$\lim _{x\to 0}{\frac {tg(x)}{x}}={\frac {tg(0)}{0}}={\frac {0}{0}}$

Aplicando a regra de l'Hôpital:

$\lim _{x\to 0}{\frac {tg(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(tg(x))'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}{\frac {sec^{2}(x)}{1}}=1$

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{x}}={\frac {sen(0)}{0}}={\frac {0}{0}}$

Aplicando a regra

$\lim _{x\to 0}{\frac {sen(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(sen(x))'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}{\frac {cos(x)}{1}}=1$

Ligações externas

• «Fórum de matemática para dúvidas sobre a Regra de L'Hôpital»