Regra de l'Hôpital

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Em cálculo, a regra de L'Hôpital é um teorema que fornece uma técnica para avaliar limites de formas indeterminadas. A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.[1]

Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ou .

A regra de L'Hôpital foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712.

História[editar | editar código-fonte]

Guillaume de l'Hôpital publicou esta regra em seu livro de 1696 Analyze des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (tradução literal: Análise do Infinitamente Pequeno para o Entendimento de Linhas Curvas), o primeiro livro sobre cálculo diferencial. No entanto, acredita-se que a regra foi descoberta pelo matemático suíço Johann Bernoulli.[2][3] Posteriomente foi-se descoberto que a regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli.[4]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Caso especial[editar | editar código-fonte]

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinômios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que , e que . Então

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Sejam e funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos , com .

Se ou

Então, se ,

com ou ou :

Com , , , ou .

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência). Observa-se, também, que necessariamente ou ou , noutro caso nada se pode concluir.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

A regra pode ser aplicada em exemplos como na expressão inicial abaixo, no qual um limite com tendendo à , resultará num denominador , resultando em zero. A regra de L'Hôpital tornará o denominador , removendo a indeterminação.

Já na expressão inicial abaixo, com tendendo à , o denominador será infinito, uma indeterminação. A regra de L'Hôpital também tornará o denominador , removendo a indeterminação.

Algumas aplicações da regra de L'Hôpital necessitam de manipulação algébrica para se tornar uma fração para que possam ser usadas.

Na expressão abaixo, com o limite fundamental, precisa-se manipular o expoente usando propriedades do logaritmo natural para transformar a expressão numa fração.

aplicando a regra de L'Hôpital:

O mesmo pode ser usado no limite fundamental, para manipular o expoente .

Com a manipulação, é possível aplicar a regra para remover a indeterminação:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos podem ser fornecidos.

Aplicando a regra de l'Hôpital:

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

Aplicando a regra

Referências

  1. Apostol, Tom M. (1 de abril de 2021). Cálculo I: Cálculo com funçôes de uma variável, com uma introduçâo à Àlgebra Linear. [S.l.]: Reverte. p. 340 
  2. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics 3rd illustrated ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3  Extract of page 321
  3. Weisstein, Eric W. «L'Hospital's Rule» (em inglês). MathWorld 
  4. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (6 de setembro de 2019). História da matemática. [S.l.]: Editora Blucher. p. 295 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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