Comutador (matemática)

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Na matemática, o Comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em Teoria dos grupos e Teoria dos anéis.

Teoria dos grupos[editar | editar código-fonte]

Em teoria dos grupos, o comutador de dois elementos ( e ) de um grupo G é dado por:

O conjunto dos comutadores, , não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 [carece de fontes?]). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc).

Vale também que um grupo é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento: .

Teoria dos anéis[editar | editar código-fonte]

Em Teoria dos anéis o comutador de dois elementos de um anel é dado por

O comutador de e é zero se e somente se os elementos e comutam.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Colchete de Poisson.

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