Subgrupo normal
Saltar para a navegação
Saltar para a pesquisa
Em matemática e, em especial em teoria dos grupos, um subgrupo normal é um subgrupo que é preservado por conjugação, ou seja, . Em outras palavras, qualquer que seja o elemento x do grupo, os conjuntos x N e N x coincidem.
Se H é um subgrupo normal de G, então o quociente G/H admite uma estrutura de grupo, chamada de grupo quociente.
Exemplos[editar | editar código-fonte]
- Se e é o elemento neutro do grupo G, então { e } e G são subgrupos normais de G.
- A interseção de subgrupos normais é um subgrupo normal.
- Seja S um subconjunto de G. Então a interseção (não-vazia) dos subgrupos normais de G que contém S é um subgrupo normal de G. Esse é o menor subgrupo normal que contém S.
- Se o grupo é abeliano, então todo subgrupo é normal.
- Um grupo é simples (ver artigo grupo simples) quando os únicos subgrupos normais são { e } e o próprio grupo. Os grupos para p primo , são simples. Os grupos das permutações pares para são simples. Esse fato é crucial para provar que a equação do quinto grau não é resolúvel por radicais.
- Se é um homomorfismo de grupos, e e é o elemento neutro de H, então é um subgrupo normal de G.