Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Os Parênteses de Poisson são uma operação matemática usada em mecânica clássica e teoria dos sistemas dinâmicos para descrever a evolução temporal de uma função que depende de variáveis dinâmicas (posição e momento). Eles são definidos como:
{
f
,
g
}
=
∑
i
(
∂
f
∂
q
i
∂
g
∂
p
i
−
∂
f
∂
p
i
∂
g
∂
q
i
)
{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}
Onde
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
são funções de coordenadas generalizadas
q
i
{\displaystyle q_{i}}
e seus momentos conjugados
p
i
{\displaystyle p_{i}}
.
Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades:
[
q
i
,
p
j
]
=
δ
i
j
{\displaystyle \left[q_{i},p_{j}\right]=\delta _{ij}}
;
[
q
i
,
q
j
]
=
0
{\displaystyle \left[q_{i},q_{j}\right]=0}
;
[
p
i
,
p
j
]
=
0
{\displaystyle \left[p_{i},p_{j}\right]=0}
;
[
u
,
u
]
=
0
{\displaystyle \left[u,u\right]=0}
;
Anticomutatividade :
[
u
,
v
]
=
−
[
v
,
u
]
{\displaystyle \left[u,v\right]=-\left[v,u\right]}
;
Linearidade (a e b constantes):
[
a
u
+
b
v
,
w
]
=
a
[
u
,
w
]
+
b
[
v
,
w
]
{\displaystyle \left[au+bv,w\right]=a\left[u,w\right]+b\left[v,w\right]}
;
Regra da cadeia :
[
u
v
,
w
]
=
[
u
,
w
]
v
+
u
[
v
,
w
]
{\displaystyle \left[uv,w\right]=\left[u,w\right]v+u\left[v,w\right]}
;
Identidade de Jacobi :
[
u
,
[
v
,
w
]
]
+
[
v
,
[
w
,
u
]
]
+
[
w
,
[
u
,
v
]
]
=
0
{\displaystyle \left[u,\left[v,w\right]\right]+\left[v,\left[w,u\right]\right]+\left[w,\left[u,v\right]\right]=0}
.
Artigo principal: equações de Hamilton .
As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:
p
˙
=
−
∂
H
∂
q
{\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}}
q
˙
=
∂
H
∂
p
{\displaystyle {\dot {q}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}
Essas equações podem ser escritas com o uso dos colchetes de Poisson:
d
q
d
t
=
[
q
,
H
]
d
p
d
t
=
[
p
,
H
]
{\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\left[q,{\mathcal {H}}\right]\qquad \qquad \qquad {\frac {dp}{dt}}=\left[p,{\mathcal {H}}\right]}
,
com
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
representando o hamiltoniano
Além disso, a função
u
{\displaystyle u}
de qi , pi e t possui derivada temporal dada pela seguinte relação:
d
u
d
t
=
[
u
,
H
]
+
∂
u
∂
t
{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\left[u,{\mathcal {H}}\right]+{\frac {\partial u}{\partial t}}}
.