Espaço quociente (álgebra linear)

Em álgebra linear, o quociente de um espaço vetorial $V$ por um subespaço $N$ é um espaço vetorial obtido pelo "colapso" de $N$ a zero. O espaço obtido é chamado de espaço quociente e é denotado por $V/N$.

Definição

Formalmente, a construção do conceito ocorre na seguinte maneira (Halmos 1974, §21-22). Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K$, e seja $N$ um subespaço de $V$. Define-se uma relação de equivalência $\sim$ em $V$ ao afirmar que $x\sim y$ ocorre se $x-y\in N$. Isto é, $x$ está relacionado a $y$ se um puder ser obtido a partir do outro ao somar um elemento pertencente a $N$. Dessa definição, é possível deduzir que qualquer elemento em $N$ está relacionado ao vetor nulo; mais precisamente, todos os vetores em $N$ são mapeados para a classe de equivalência do vetor nulo.

A classe de equivalência (ou, nesse caso, a coclasse) de $x$ é frequentemente denotada como

$[x]=x+N$

já que é dada por

$[x]=\{x+n:n\in N\}.$

O espaço quociente V/N é então definido como $V/\sim$, o conjunto de todas as classes de equivalência sobre $V$ por $\sim$. A multiplicação por escalares e a adição estão definidas em classes de equivalência como

• $\alpha [x]=[\alpha x]\;\forall \alpha \in K$, e
• $[x]+[y]=[x+y].$

Não é difícil verificar que essas operações estão bem definidas (isto é, não dependem na escolha de representação). Essas operações tornam o espaço quociente $V/N$ em um espaço vetorial sobre $K$ com $N$ sendo a classe zero, $[0]$.

O mapeamento que associa à $v\in V$ a classe de equivalência $[v]$ é conhecido como mapeamento quociente.

Referências

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, ISBN 978-0-387-90093-3, Springer .
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume II, Academic Press .