Domínio de integridade

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Um domínio de integridade (ou anel de integridade)é um anel com as seguintes propriedades adicionais:

  1. (elemento neutro)
  2. (comutatividade)
  3. (não existem divisores de zero)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo corpo é um domínio de integridade
  • Analogamente, todo domínio de integridade finito é um corpo: seja a um elemento não-nulo de um domínio de integridade finito D. Então a função é injetiva (caso contrário, f(x) = f(y), a x = a y logo a (x - y) = 0 e D teria divisores de zero), logo sobrejetiva, portanto existe b tal que f(b) = 1.
  • Para qualquer corpo ou domínio de integridade D, o anel dos polinômios D[x] é um domínio de integridade.
  • Os anéis finitos não são domínios de integridade quando n for um número composto, porque sendo , então em . Quando n for um número primo, é um corpo (logo, é um domínio de integridade).

Corpo de Frações[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Corpo de frações

Para todo domínio de integridade D existe um corpo K, , tal que todo elemento de K pode ser escrito da forma a/b, sendo .

Este é o corpo de frações de D, e é único no seguinte sentido algébrico: se é outro corpo em que todo elemento de pode ser escrito como a/b com , então K e são isomorfos.

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