Corpo de frações

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Seja um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.[1]

De modo geral, é um corpo de frações do anel quando B for um corpo, e contiver um sub-anel A' isomórfico a A.[1] Quando B existe (mais abaixo estão enumeradas as condições para sua existência) podemos dizer que B é o corpo de frações de A, porque qualquer outro corpo de frações de A será isomórfico a B.

Construção[editar | editar código-fonte]

A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros.[1]

Como é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em , a multiplicação também deve ser comutativa.

Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.

Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.

As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.

Como os elementos de B tem a forma para , vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados .[1]

Define-se, em :

Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo

Lembrando que , temos que considerar em a relação definida por .[1]

Prova-se facilmente que é uma relação de equivalência em .[1] Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em estão bem definidas no conjunto quociente .[1]

A projeção definida por é um isomorfismo entre A e .[1]

Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam iA e i'A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por:

Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.

Referências

  1. a b c d e f g h D. P. Fahr, Field of fractions [em linha]
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