Monoide
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Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.[1]
Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.
Definição formal[editar | editar código-fonte]
Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:
- é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
- fechamento: dado o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ()
- associatividade: para todos vale
- existência do elemento neutro: existe um único tal que para todo vale
- é um grupoide dotado das propriedades:
- associativa (associatividade) para todos vale
- existência de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo vale
- é um semi-grupo dotado da existência de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo vale .
Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.
Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.[2]
Propriedades[editar | editar código-fonte]
- Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.[2]
- O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.[2]
Referências
- ↑ Monoid, no site C++ Boost
- ↑ a b c Invertible Elements, Pure Monoids, no site do Departmento of Mathematics da Carnegie Mellon University