Reticulado

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Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas[editar | editar código-fonte]

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, ), consistindo de um conjunto L e duas operações , and , sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas
,
.
    
Leis Associativas
,
.
    
Lei de Absorção
,
.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.[1]

Leis de Idempotência
,
.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja um conjunto não vazio e o conjunto potência ou conjunto das partes de . Além disso, seja a relação de inclusão de conjuntos. Então é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.
  • Seja um conjunto totalmente ordenado, isto é, é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados[editar | editar código-fonte]

  • Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
  • Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

  1. , and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), "Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler", Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês) (New York: American Mathematical Society). 
  • DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. (Cambridge: Cambridge University Press). ISBN 978-0-521-78451-1. 
  • ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês) (New York: Springer). ISBN 978-0-387-78900-2. 

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