Desigualdade de Minkowski

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em análise matemática, a Desigualdade de Minkowski estabelece que o espaço Lp é um espaço vetorial normado.

Seja um espaço normado, e e elementos de . Então é um elemento de , e temos a Desigualdade de Minkowski:

A igualdade irá acontecer somente no caso de e serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski estabelece a desigualdade triangular em .

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabeledida para sequências e vetores usando a Norma :

onde são números reais (ou números complexos) e é a cardinalidade de .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Dado , tome tal que .

Por definição temos que

A desigualdade triangular nos permite afirmar que

Pela Desigualdade de Hölder temos que

Mas, por definição da norma,

uma vez que e .

Daí concluímos que

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por .

. .

Referências[editar | editar código-fonte]

  • G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)