Desigualdade de Minkowski

Em análise matemática, a Desigualdade de Minkowski estabelece que o espaço L^p é um espaço vetorial normado.

Seja $S$ um espaço normado, $1 \leq p \leq \infty\,$ e $f\,$ e $g\,$ elementos de $L^p(S)\,$. Então $f + g\,$ é um elemento de $L^p(S)\,$, e temos a Desigualdade de Minkowski:

$\left\|f+g\right\|_p \le \left\|f\right\|_p + \left\|g\right\|_p.$

A igualdade irá acontecer somente no caso de $f$ e $g$ serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski estabelece a desigualdade triangular em $L^p(S)\,$.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabeledida para sequências e vetores usando a Norma $\ell^p$:

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

onde $x_1,\cdots ,\ x_n,\ y_1,\cdots,\ y_n$ são números reais (ou números complexos) e $n$ é a cardinalidade de $S$.

Demonstração

Dado $p > 1\,$, tome $q\,$ tal que $1/p + 1/q=1\,$.

Por definição temos que

$\left\|f+g\right\|_p^p = \int |f+g|^p d\mu = \int |f+g| |f+g|^{p-1} d\mu\,$

A desigualdade triangular nos permite afirmar que

$\left\|f+g\right\|_p^p \leq \int \left|f\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu + \int \left|g\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu\,$

Pela Desigualdade de Hölder temos que

$\int \left|f\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu \leq \left\|f\right\|_p \left\| \left(f+g\right)^{p-1} \right\|_q\,$

Mas, por definição da norma,

$\left\| \left(f+g\right)^{p-1} \right\|_q = \left( \int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^q \right)^{\frac{1}{q}} = \left( \int \left|\left(f+g\right)\right|^p \right)^{\frac{p-1}{p}} = \left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,$

uma vez que $(p-1)q=p$ e $1/q= 1-1/p$.

Daí concluímos que

$\left\|f+g\right\|_p^p \leq \left( \left\|f\right\|_p + \left\|g\right\|_p \right) \left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,$

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por $\left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,$.

$\left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,$. .

Referências

• G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)