Desigualdade de Minkowski

Em análise matemática, a Desigualdade de Minkowski estabelece que o espaço L^p é um espaço vetorial normado.

Seja $S$$S$ um espaço normado, $1\leq p\leq \infty \,$$1\leq p\leq \infty \,$ e $f\,$$f\,$ e $g\,$$g\,$ elementos de $L^{p}(S)\,$$L^{p}(S)\,$. Então $f+g\,$$f+g\,$ é um elemento de $L^{p}(S)\,$$L^{p}(S)\,$, e temos a Desigualdade de Minkowski:

$\left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.$$\left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.$

A igualdade irá acontecer somente no caso de $f$$f$ e $g$$g$ serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski estabelece a desigualdade triangular em $L^{p}(S)\,$$L^{p}(S)\,$.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabeledida para sequências e vetores usando a Norma $\ell ^{p}$$\ell ^{p}$:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

onde $x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ y_{1},\cdots ,\ y_{n}$$x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ y_{1},\cdots ,\ y_{n}$ são números reais (ou números complexos) e $n$$n$ é a cardinalidade de $S$$S$.

Demonstração

Dado $p>1\,$$p>1\,$, tome $q\,$$q\,$ tal que $1/p+1/q=1\,$$1/p+1/q=1\,$.

Por definição temos que

$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}d\mu =\int |f+g||f+g|^{p-1}d\mu \,$$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}d\mu =\int |f+g||f+g|^{p-1}d\mu \,$

A desigualdade triangular nos permite afirmar que

$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu +\int \left|g\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \,$$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu +\int \left|g\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \,$

Pela Desigualdade de Hölder temos que

$\int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \leq \left\|f\right\|_{p}\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}\,$$\int \left|f\right|\left|f+g\right|^{p-1}d\mu \leq \left\|f\right\|_{p}\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}\,$

Mas, por definição da norma,

$\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}=\left(\int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int \left|\left(f+g\right)\right|^{p}\right)^{\frac {p-1}{p}}=\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$$\left\|\left(f+g\right)^{p-1}\right\|_{q}=\left(\int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int \left|\left(f+g\right)\right|^{p}\right)^{\frac {p-1}{p}}=\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$

uma vez que $(p-1)q=p$$(p-1)q=p$ e $1/q=1-1/p$$1/q=1-1/p$.

Daí concluímos que

$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \left(\left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}\right)\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$$\left\|f+g\right\|_{p}^{p}\leq \left(\left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}\right)\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por $\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$$\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$.

$\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$$\left\|f+g\right\|_{p}^{p-1}\,$. .

Referências

• G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)