Desigualdade de Minkowski

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Em análise matemática, a Desigualdade de Minkowski estabelece que o espaço Lp é um espaço vetorial normado.

Seja S um espaço normado, 1 \leq p \leq \infty\, e f\, e g\, elementos de L^p(S)\,. Então f + g\, é um elemento de L^p(S)\,, e temos a Desigualdade de Minkowski:

\left\|f+g\right\|_p \le \left\|f\right\|_p + \left\|g\right\|_p.

A igualdade irá acontecer somente no caso de f e g serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski estabelece a desigualdade triangular em L^p(S)\,.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabeledida para sequências e vetores usando a Norma \ell^p:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

onde x_1,\cdots ,\ x_n,\ y_1,\cdots,\ y_n são números reais (ou números complexos) e n é a cardinalidade de S.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Dado p > 1\,, tome q\, tal que 1/p + 1/q=1\,.

Por definição temos que

\left\|f+g\right\|_p^p = \int |f+g|^p d\mu = \int |f+g| |f+g|^{p-1} d\mu\,

A desigualdade triangular nos permite afirmar que

\left\|f+g\right\|_p^p \leq \int \left|f\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu + \int \left|g\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu\,

Pela Desigualdade de Hölder temos que

\int \left|f\right| \left|f+g\right|^{p-1} d\mu \leq \left\|f\right\|_p \left\| \left(f+g\right)^{p-1} \right\|_q\,

Mas, por definição da norma,

\left\| \left(f+g\right)^{p-1} \right\|_q = \left( \int \left|\left(f+g\right)^{p-1}\right|^q \right)^{\frac{1}{q}} = \left( \int \left|\left(f+g\right)\right|^p \right)^{\frac{p-1}{p}} = \left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,

uma vez que (p-1)q=p e 1/q= 1-1/p.

Daí concluímos que

 \left\|f+g\right\|_p^p \leq \left( \left\|f\right\|_p + \left\|g\right\|_p \right) \left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por \left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,.

\left\|f+g\right\|_p^{p-1}\,. .

Referências[editar | editar código-fonte]

  • G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)