Desigualdade de Hölder

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp.

Desigualdade para somatórios finitos[editar | editar código-fonte]

Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

Sejam e seqüências se números reais ou complexos Então:

Desigualdade para séries[editar | editar código-fonte]

Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

E ainda, e (veja espaço lp), vale:


Desigualdade para integrais[editar | editar código-fonte]

Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

Sejam e funções , e , então:

Observe que a desigualdade implica

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

Então estimemos pela desigualdade triangular:

Basta mostrar que:

Agora, usamos a desigualdade de Young:

Da definição de e , temos:

E finalmente:


Espaços Lp[editar | editar código-fonte]

Na linguagem dos espaços lp, a desigualdade toma a forma:

Nos espaços Lp, tem a forma:


Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) ou .

Ver também[editar | editar código-fonte]